Encontre o espaço gerado pelo conjunto A. A=(1,1,0,0),(1,1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o espaço gerado pelo conjunto A = (1,1,0,0), (1,1,1,0). Isso está dentro do estudo de Álgebra Linear, especificamente falando sobre espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como quaisquer combinações desses vetores podem formar todo o espaço que eles geram.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o espaço gerado por um conjunto de vetores é todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Ou seja, qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como c1 cdot (1,1,0,0) + c2 cdot (1,1,1,0), onde c1 e c2 são números reais.

Passo 3

Vamos escrever essa combinação linear de forma explícita:
c1 cdot (1,1,0,0) + c2 cdot (1,1,1,0) = (c1 + c2, c1 + c2, c2, 0)
Isso significa que qualquer vetor no espaço gerado por A tem essa forma: (c1 + c2, c1 + c2, c2, 0).

Passo 4

Agora, vamos analisar as componentes desse vetor. Podemos definir variáveis para simplificar:
  • Seja x = c1 + c2
  • Seja y = c1 + c2 (igual a x)
  • Seja z = c2
  • A última componente é sempre 0
Perceba que x = y, então a segunda componente é igual à primeira.

Passo 5

Com isso, podemos descrever o espaço gerado por A como todos os vetores (x, x, z, 0), onde x e z são números reais. Isso define um subespaço de R^4 onde a segunda componente é igual à primeira e a quarta componente é zero.

Resposta

O espaço gerado pelo conjunto A é o conjunto de todos os vetores (x, x, z, 0) com x, z in R.

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