Encontre a expressão de T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} cuja matriz [T]_{\beta}^{\alpha} nas bases \alpha=\{(2,1),(1,-1)\} e \beta=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} é:
[T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 1 & 2 \\\\ 2 & -1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a expressão de T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}" sabendo que a matriz de T relativa à base \alpha=\{(2,1),(1,-1)\} do domínio e à base \beta=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} do contradomínio é
[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] 1 & 2\\[4pt] 2 & -1 \end{pmatrix}.
Informações dadas e perguntas:
  • Bases no domínio: \alpha_1=(2,1) e \alpha_2=(1,-1).
  • Bases no contradomínio: \beta_1=(1,1,0), \beta_2=(1,0,1), \beta_3=(0,1,1).
  • A matriz [T]_{\beta}^{\alpha} tem duas colunas; cada coluna são as coordenadas de T(\alpha_j) na base \beta.
  • Objetivo: obter uma fórmula explícita para T(x,y) em coordenadas usuais de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3.]

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): quando se dá [T]_{\beta}^{\alpha}, a j-ésima coluna é o vetor coordenado de T(\alpha_j) na base \beta. Ou seja, se a j-ésima coluna é \begin{pmatrix}c_1\c_2\c_3\end{pmatrix}, então
T(\alpha_j)=c_1\beta_1+c_2\beta_2+c_3\beta_3
em coordenadas padrão de \mathbb{R}^3. Vou usar isso para encontrar T(\alpha_1) e T(\alpha_2) em coordenadas padrão.

Passo 3

Pegando a primeira coluna de [T]_{\beta}^{\alpha}, que é \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}, temos
T(\alpha_1)=1\cdot\beta_1+1\cdot\beta_2+2\cdot\beta_3.
Agora escrevo em coordenadas padrão usando \beta_1=(1,1,0), \beta_2=(1,0,1), \beta_3=(0,1,1). Calculando componente a componente:
T(\alpha_1)=(1+1+0,\;1+0+2,\;0+1+2)=(2,3,3).

Passo 4

Pegando a segunda coluna \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}, obtemos
T(\alpha_2)=1\cdot\beta_1+2\cdot\beta_2+(-1)\cdot\beta_3.
Usando as \beta_i,
T(\alpha_2)=(1+2+0,\;1+0+(-1),\;0+2+(-1))=(3,0,1).

Passo 5

Agora precisamos expressar um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2\) como combinação linear das vetores da base \(\alpha\): \[(x,y)=a\,(2,1)+b\,(1,-1)=(2a+b,\;a-b).
Isso gera o sistema de equações
\begin{cases} 2a+b=x,\\[4pt] a-b=y. \end{cases}
Vou resolver para a\] e \(b. Da segunda equação a=y+b. Substituindo na primeira:
2(y+b)+b=x \quad\Rightarrow\quad 2y+3b=x \quad\Rightarrow\quad b=\dfrac{x-2y}{3}.
Então
a=y+b=y+\dfrac{x-2y}{3}=\dfrac{x+y}{3}.
Portanto as coordenadas de (x,y) na base \alpha são
[a,b]=\left(\dfrac{x+y}{3},\;\dfrac{x-2y}{3}\right).]

Passo 6

Como T é linear, para (x,y) vale
T(x,y)=a\,T(\alpha_1)+b\,T(\alpha_2).
Substituo T(\alpha_1)=(2,3,3), T(\alpha_2)=(3,0,1) e a,b encontrados:
T(x,y)=\dfrac{x+y}{3}\,(2,3,3)+\dfrac{x-2y}{3}\,(3,0,1).
Faço componente a componente. Primeira componente:
\text{(1)}\quad \dfrac{x+y}{3}\cdot 2+\dfrac{x-2y}{3}\cdot 3 = \dfrac{2(x+y)+3(x-2y)}{3} = \dfrac{5x-4y}{3}.
Segunda componente:
\text{(2)}\quad \dfrac{x+y}{3}\cdot 3+\dfrac{x-2y}{3}\cdot 0 = x+y.
Terceira componente:
\text{(3)}\quad \dfrac{x+y}{3}\cdot 3+\dfrac{x-2y}{3}\cdot 1 = \dfrac{3(x+y)+ (x-2y)}{3} = \dfrac{2x-y}{3}.

Passo 7

Portanto a expressão final do operador linear T em coordenadas usuais é
T(x,y)=\left(\dfrac{5x-4y}{3},\;x+y,\;\dfrac{2x-y}{3}\right).
Opcionalmente, a matriz de T relativa às bases canônicas (colunas são as imagens de (1,0) e (0,1)) é
\begin{pmatrix} \frac{5}{3} & -\frac{4}{3}\\[4pt] 1 & 1\\[4pt] \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix},
o que confirma a fórmula acima.]

Resposta

T(x,y)=\left(\dfrac{5x-4y}{3},\;x+y,\;\dfrac{2x-y}{3}\right)