Encontre a expressão de T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} cuja matriz [T]_{\beta}^{\alpha} nas bases \alpha=\{(2,1),(1,-1)\} e \beta=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} é:
O enunciado pede: "Encontre a expressão de T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}" sabendo que a matriz de T relativa à base \alpha=\{(2,1),(1,-1)\} do domínio e à base \beta=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} do contradomínio é
Bases no domínio: \alpha_1=(2,1) e \alpha_2=(1,-1).
Bases no contradomínio: \beta_1=(1,1,0), \beta_2=(1,0,1), \beta_3=(0,1,1).
A matriz [T]_{\beta}^{\alpha} tem duas colunas; cada coluna são as coordenadas de T(\alpha_j) na base \beta.
Objetivo: obter uma fórmula explícita para T(x,y) em coordenadas usuais de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3.]
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): quando se dá [T]_{\beta}^{\alpha}, a j-ésima coluna é o vetor coordenado de T(\alpha_j) na base \beta. Ou seja, se a j-ésima coluna é \begin{pmatrix}c_1\c_2\c_3\end{pmatrix}, então
T(\alpha_j)=c_1\beta_1+c_2\beta_2+c_3\beta_3
em coordenadas padrão de \mathbb{R}^3. Vou usar isso para encontrar T(\alpha_1) e T(\alpha_2) em coordenadas padrão.
Passo 3
Pegando a primeira coluna de [T]_{\beta}^{\alpha}, que é \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}, temos
Agora precisamos expressar um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2\) como combinação linear das vetores da base \(\alpha\):
\[(x,y)=a\,(2,1)+b\,(1,-1)=(2a+b,\;a-b).
Isso gera o sistema de equações
\begin{cases} 2a+b=x,\\[4pt] a-b=y. \end{cases}
Vou resolver para a\] e \(b. Da segunda equação a=y+b. Substituindo na primeira: