Encontre os extremos relativos da função, classificando-os como máximo ou mínimo local, ou nenhum dos dois.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os extremos relativos da função e classificá-los como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois. A função fornecida é
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão da função é
. - O domínio implícito é todo
(a expressão é um polinômio). - A tarefa é achar pontos críticos (onde
ou não existe) e determinar se em cada ponto há máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
. Usamos a regra de potência: se
com
real, então a derivada é
Aplicando isso em
(aqui
e
):
Explicando com calma: multiplicamos pelo expoente
e reduzimos o expoente em 1, ficando
.
Passo 3
Encontrar pontos críticos: resolver
.
A derivada existe para todo
, então o único ponto crítico é
.
Passo 4
Aplicar o teste da segunda derivada (e explicar o que ele é). A segunda derivada é a derivada de
. Usando novamente a regra de potência:
O teste da segunda derivada diz: se em um ponto crítico
tivermos
então
é mínimo local; se
então
é máximo local; se
o teste é inconclusivo. Aqui:
portanto o teste da segunda derivada é inconclusivo neste caso.
Passo 5
Quando o teste da segunda derivada falha, fazemos o teste do sinal da primeira derivada ou analisamos o comportamento da função ao redor do ponto. O teste do sinal da primeira derivada funciona assim: se
muda de negativo para positivo passando por
, então houve uma queda antes e subida depois — isso indica mínimo local. Se muda de positivo para negativo, indica máximo local.
Avaliação do sinal de
:
- Para
(por exemplo ): é negativo, o cubo mantém o sinal negativo, então . Logo é negativa à esquerda de . - Para
(por exemplo ): é positivo, o cubo positivo, então . Logo é positiva à direita de .
Como
muda de negativo para positivo ao atravessar
, a função passa de decrescente para crescente em
. Isso caracteriza um mínimo local em
.
Passo 6
Calcular o valor da função no ponto crítico:
Além disso, observar que para todo
temos
porque uma potência quarta de um número real não pode ser negativa. Assim
para todo
e o valor
em
é o menor valor possível — portanto é também mínimo global (além de mínimo local).
Passo 7
Comentário extra (teste da derivada de ordem superior, só para conhecimento): as derivadas de ordens 1, 2 e 3 em
são zero, mas a derivada de quarta ordem é
logo
. Há um resultado que diz: se a primeira derivada não nula em
tiver ordem
e
for par, então
é mínimo se essa derivada for positiva. Aqui o primeiro derivado não nulo tem ordem
(par) e é positiva, confirmando mínimo. Isso é só uma alternativa ao teste do sinal já feito.