Encontre os extremos relativos da função, classificando-os como máximo ou mínimo local, ou nenhum dos dois.
f(x)=(x-2)^{4}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os extremos relativos da função e classificá-los como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois. A função fornecida é f(x)=(x-2)^{4}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão da função é f(x)=(x-2)^{4}.
  • O domínio implícito é todo \mathbb{R} (a expressão é um polinômio).
  • A tarefa é achar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) e determinar se em cada ponto há máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois.

Passo 2

Vamos calcular a derivada f'(x). Usamos a regra de potência: se g(x)=(x-a)^{n} com n real, então a derivada é
g'(x)=n(x-a)^{n-1}.
Aplicando isso em f(x)=(x-2)^{4} (aqui n=4 e a=2):
f'(x)=4(x-2)^{3}.
Explicando com calma: multiplicamos pelo expoente 4 e reduzimos o expoente em 1, ficando 3.

Passo 3

Encontrar pontos críticos: resolver f'(x)=0.
4(x-2)^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2.
A derivada existe para todo x, então o único ponto crítico é x=2.

Passo 4

Aplicar o teste da segunda derivada (e explicar o que ele é). A segunda derivada é a derivada de f'(x). Usando novamente a regra de potência:
f''(x)=12(x-2)^{2}.
O teste da segunda derivada diz: se em um ponto crítico c tivermos f''\text{(c)}>0 então c é mínimo local; se f''\text{(c)}<0 então c é máximo local; se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo. Aqui:
f''(2)=12(2-2)^{2}=12\cdot 0=0,
portanto o teste da segunda derivada é inconclusivo neste caso.

Passo 5

Quando o teste da segunda derivada falha, fazemos o teste do sinal da primeira derivada ou analisamos o comportamento da função ao redor do ponto. O teste do sinal da primeira derivada funciona assim: se f' muda de negativo para positivo passando por c, então houve uma queda antes e subida depois — isso indica mínimo local. Se muda de positivo para negativo, indica máximo local.
Avaliação do sinal de f'(x)=4(x-2)^{3}:
  • Para x<2 (por exemplo x=1): (x-2) é negativo, o cubo mantém o sinal negativo, então f'(1)=4(-1)^{3}=-4<0. Logo f' é negativa à esquerda de 2.
  • Para x>2 (por exemplo x=3): (x-2) é positivo, o cubo positivo, então f'(3)=4(1)^{3}=4>0. Logo f' é positiva à direita de 2.
Como f' muda de negativo para positivo ao atravessar x=2, a função passa de decrescente para crescente em x=2. Isso caracteriza um mínimo local em x=2.

Passo 6

Calcular o valor da função no ponto crítico:
f(2)=(2-2)^{4}=0.
Além disso, observar que para todo x temos (x-2)^{4}\ge 0 porque uma potência quarta de um número real não pode ser negativa. Assim f(x)\ge 0 para todo x e o valor 0 em x=2 é o menor valor possível — portanto é também mínimo global (além de mínimo local).

Passo 7

Comentário extra (teste da derivada de ordem superior, só para conhecimento): as derivadas de ordens 1, 2 e 3 em x=2 são zero, mas a derivada de quarta ordem é
f^{(4)}(x)=24,
logo f^{(4)}(2)=24>0. Há um resultado que diz: se a primeira derivada não nula em c tiver ordem m e m for par, então c é mínimo se essa derivada for positiva. Aqui o primeiro derivado não nulo tem ordem m=4 (par) e é positiva, confirmando mínimo. Isso é só uma alternativa ao teste do sinal já feito.

Resposta

x=2 é um mínimo local (e mínimo global), com f(2)=0.

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