Encontre o fator integrante e resolva as seguintes EDOs de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária (EDO)
e pede duas coisas:
- Encontrar o fator integrante (também chamado de fator de integração) usado para resolver a EDO.
- Resolver a EDO e apresentar a solução geral
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O coeficiente que multiplica
é . Logo, a equação está definida para . - O termo do lado direito é
. - Espera-se uma solução geral com constante arbitrária (como sempre em EDOs de primeira ordem).
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a EDO na forma padrão linear
. Para isso divide-se toda a equação por
(lembrando que
). Assim:
Aqui estou usando a notação
. Nesta forma,
e
.
Passo 3
Pequena explicação didática do método (fator integrante):
- Para uma EDO linear de primeira ordem na forma
o fator integrante
é definido por
- A razão: multiplicando a equação por
obtém-se
e, por construção de
, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Ou seja,
o que reduz a EDO a uma integração direta.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso
. Primeiro simplifico
:
porque
. Agora calculo a integral de
:
Ao formar o fator integrante, o constante de integração
pode ser ignorado (aparece como multiplicador constante em
), então:
Usando propriedades de exponencial, isto vira
Como um fator multiplicativo constante de sinal não altera o procedimento, podemos tomar convenientemente
tendo em mente que o caso
difere apenas por um sinal global que é absorvido na constante final.
Passo 5
Multiplico a equação na forma padrão por
. O lado esquerdo se transforma em derivada do produto:
No lado direito tenho
Agora simplifico o lado direito:
cancela com
e
cancela também, sobrando simplesmente
. Portanto a EDO multiplicada pelo fator integrante fica
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
. A integral do lado esquerdo remove a derivada, e a integral do lado direito é imediata:
onde
é a constante arbitrária de integração que aparece ao integrar.
Passo 7
Explicação final de como obter
a partir da equação encontrada:
- Para isolar
, basta dividir ambos os lados por (novamente lembrando que ). - Esse passo é uma álgebra simples:
.
Passo 8
Observações importantes e reforço didático:
- O fator integrante encontrado foi
. Um jeito prático de reconhecer integráveis é sempre tentar decompor em partes simples (como fiz: ) para facilitar . - A solução geral contém a constante
e é válida em cada intervalo onde mantém sinal (ou seja, em e em ); o ponto é singular porque o coeficiente de é zero ali. - Se quiser um exemplo extra rápido: para a EDO
tem-se , , e prossegue-se multiplicando e integrando da mesma forma.
Resposta
Fator integrante:
Solução geral: , com
constante arbitrária e
.
Solução geral: