Encontre o fator integrante e resolva as seguintes EDOs de primeira ordem:
(x+1) \frac{d y}{d x}+(x+2) y=2 e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária (EDO)
(x+1)\frac{dy}{dx} + (x+2)y = 2e^{-x},
e pede duas coisas:
  • Encontrar o fator integrante (também chamado de fator de integração) usado para resolver a EDO.
  • Resolver a EDO e apresentar a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente que multiplica \dfrac{dy}{dx} é x+1. Logo, a equação está definida para x\neq -1.
  • O termo do lado direito é 2e^{-x}.
  • Espera-se uma solução geral com constante arbitrária (como sempre em EDOs de primeira ordem).

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a EDO na forma padrão linear y' + P(x)\,y = Q(x). Para isso divide-se toda a equação por x+1 (lembrando que x\neq -1). Assim:
\frac{dy}{dx} + \frac{x+2}{x+1}\,y = \frac{2e^{-x}}{x+1}.
Aqui estou usando a notação y'=\dfrac{dy}{dx}. Nesta forma, P(x)=\dfrac{x+2}{x+1} e Q(x)=\dfrac{2e^{-x}}{x+1}.

Passo 3

Pequena explicação didática do método (fator integrante):
  • Para uma EDO linear de primeira ordem na forma
y' + P(x)\,y = Q(x),
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x) = \exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
  • A razão: multiplicando a equação por \mu(x) obtém-se
\mu y' + \mu P y = \mu Q,
e, por construção de \mu, o lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}(\mu y). Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu Q,
o que reduz a EDO a uma integração direta.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso P(x)=\dfrac{x+2}{x+1}. Primeiro simplifico P(x):
\frac{x+2}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1},
porque x+2=(x+1)+1. Agora calculo a integral de P(x):
\int P(x)\,dx = \int\left(1+\frac{1}{x+1}\right)dx = x + \ln|x+1| + C_0.
Ao formar o fator integrante, o constante de integração C_0 pode ser ignorado (aparece como multiplicador constante em \mu), então:
\mu(x)=\exp\!\big(x + \ln|x+1|\big).
Usando propriedades de exponencial, isto vira
\mu(x)=e^{x}\,|x+1|.
Como um fator multiplicativo constante de sinal não altera o procedimento, podemos tomar convenientemente
\mu(x)=e^{x}(x+1),
tendo em mente que o caso x<-1 difere apenas por um sinal global que é absorvido na constante final.

Passo 5

Multiplico a equação na forma padrão por \mu(x)=e^{x}(x+1). O lado esquerdo se transforma em derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}(x+1)\,y\big).
No lado direito tenho
e^{x}(x+1)\cdot\frac{2e^{-x}}{x+1}.
Agora simplifico o lado direito: e^{x} cancela com e^{-x} e (x+1) cancela também, sobrando simplesmente 2. Portanto a EDO multiplicada pelo fator integrante fica
\frac{d}{dx}\big(e^{x}(x+1)\,y\big) = 2.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x. A integral do lado esquerdo remove a derivada, e a integral do lado direito é imediata:
e^{x}(x+1)\,y = \int 2\,dx = 2x + C,
onde C é a constante arbitrária de integração que aparece ao integrar.

Passo 7

Explicação final de como obter y a partir da equação encontrada:
  • Para isolar y, basta dividir ambos os lados por e^{x}(x+1) (novamente lembrando que x\neq -1).
  • Esse passo é uma álgebra simples: y = \dfrac{2x + C}{e^{x}(x+1)}.

Passo 8

Observações importantes e reforço didático:
  • O fator integrante encontrado foi \mu(x)=e^{x}(x+1). Um jeito prático de reconhecer integráveis é sempre tentar decompor P(x) em partes simples (como fiz: 1+\dfrac{1}{x+1}) para facilitar \int P.
  • A solução geral contém a constante C e é válida em cada intervalo onde x+1 mantém sinal (ou seja, em (-\infty,-1) e em (-1,\infty)); o ponto x=-1 é singular porque o coeficiente de y' é zero ali.
  • Se quiser um exemplo extra rápido: para a EDO y' + \dfrac{2}{x}y = \sin x tem-se P(x)=\dfrac{2}{x}, \mu(x)=e^{\int 2/x\,dx}=e^{2\ln|x|}=x^2, e prossegue-se multiplicando e integrando da mesma forma.

Resposta

Fator integrante: \mu(x)=e^{x}(x+1)
Solução geral: y(x)=\dfrac{2x + C}{e^{x}(x+1)}, com C constante arbitrária e x\neq -1.