Encontre o fator integrante e resolva as seguintes EDOs de primeira ordem:
y^{\prime}-3 y=6

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar o fator integrante e resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' - 3y = 6.
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação é de primeira ordem e é linear na forma padrão.
  • Não foi dada condição inicial, então vamos encontrar a solução geral contendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
y' + p(x)\,y = q(x).
Comparando com a equação dada obtemos
p(x) = -3,\qquad q(x)=6.
Explicação do que isso significa: p(x) é a função que multiplica y na equação padrão, e q(x) é o termo independente (função do x). A técnica do fator integrante usa p(x) para construir uma função \mu(x) que facilita a integração.

Passo 3

Definir o fator integrante \mu(x). A fórmula geral é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Aqui p(x)=-3, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int -3\,dx\right)=\exp(-3x)=e^{-3x}.
Breve justificativa da fórmula: quer-se uma função \mu tal que (\mu y)' apareça ao multiplicar a equação por \mu. Como (\mu y)'=\mu y'+\mu' y, impõe-se \mu'=\mu p, o que dá \mu'/\mu = p e integrando obtém-se \mu=\exp(\int p).

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante \mu(x)=e^{-3x}. Isso dá
e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y = 6e^{-3x}.
Mas note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu y, pois
(e^{-3x}y)' = e^{-3x}y' + (e^{-3x})'y = e^{-3x}y' -3e^{-3x}y.
Portanto a equação fica
(e^{-3x}y)' = 6e^{-3x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x. Integração do lado esquerdo dá diretamente e^{-3x}y. Para o lado direito calculamos
\int 6e^{-3x}\,dx = 6\int e^{-3x}\,dx = 6\cdot\left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right) + C = -2e^{-3x}+C,
onde C é a constante de integração. Assim
e^{-3x}y = -2e^{-3x} + C.

Passo 6

Isolar y multiplicando por e^{3x}:
y = -2 + C e^{3x}.
Interpretação e cheque rápido:
  • A solução geral é y(x) = -2 + C e^{3x}, com C\in\mathbb{R}.
  • Isso é consistente com a decomposição em solução homogênea e particular: a homogênea é y_h = C e^{3x} (resolvendo y' -3y=0) e uma solução particular constante é y_p=-2 (pois 0-3(-2)=6).

Resposta

y(x) = -2 + C e^{3x}