Encontre o fator integrante e resolva as seguintes EDOs de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar o fator integrante e resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações fornecidas e observações iniciais:
- A incógnita é a função
. - A equação é de primeira ordem e é linear na forma padrão.
- Não foi dada condição inicial, então vamos encontrar a solução geral contendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
Comparando com a equação dada obtemos
Explicação do que isso significa:
é a função que multiplica
na equação padrão, e
é o termo independente (função do
). A técnica do fator integrante usa
para construir uma função
que facilita a integração.
Passo 3
Definir o fator integrante
. A fórmula geral é
Aqui
, então
Breve justificativa da fórmula: quer-se uma função
tal que
apareça ao multiplicar a equação por
. Como
, impõe-se
, o que dá
e integrando obtém-se
.
Passo 4
Multiplicar a equação original pelo fator integrante
. Isso dá
Mas note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. Integração do lado esquerdo dá diretamente
. Para o lado direito calculamos
onde
é a constante de integração. Assim
Passo 6
Isolar
multiplicando por
:
Interpretação e cheque rápido:
- A solução geral é
, com . - Isso é consistente com a decomposição em solução homogênea e particular: a homogênea é
(resolvendo ) e uma solução particular constante é (pois ).