Encontre uma fórmula para o termo geral das seguintes sequências:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência de termos que são produtos de números, e precisamos encontrar uma fórmula que descreva o termo geral dessa sequência. Ou seja, queremos uma expressão que, dado um número n, nos diga qual é o n-ésimo termo da sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos estão se formando e identificar um padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os termos da sequência de forma mais clara:
- Termo 1:
- Termo 2:
- Termo 3:
- Termo 4:
-
Passo 3
Observando os termos, percebemos que cada termo é o produto de uma sequência de números inteiros começando de 1 até um certo número. Vamos ver quantos números estão sendo multiplicados em cada termo:
- Termo 1: 2 números (
e ) - Termo 2: 4 números (
) - Termo 3: 6 números (
) - Termo 4: 8 números (
)
Percebemos que o número de fatores em cada termo é sempre múltiplo de 2. Mais especificamente, o n-ésimo termo tem
fatores.
Passo 4
Sabemos que o produto de todos os números inteiros de 1 até um número
é chamado de fatorial e é representado por
. Por exemplo:
Passo 5
Comparando com os termos da nossa sequência:
- Termo 1:
- Termo 2:
- Termo 3:
- Termo 4:
Vemos que o n-ésimo termo da sequência é igual a
.
Resposta
A fórmula para o termo geral da sequência é
.