Encontre a integral indefinida (Regra de substituição) integral cossec^2 10 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a integral indefinida usando a regra de substituição. A gente vai trabalhar com funções trigonométricas, especificamente a função cosecante ao quadrado de . Para isso, vamos precisar usar a técnica de substituição e conhecer a integral da que está ligada à derivada da função cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dentro da integral que vamos substituir. Temos u = 10x , então vamos definir:
Isso simplifica a expressão dentro da função trigonométrica.

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de dudx = 10 . Sabemos que:
dx = du10
Então, rearranjando para achar :

Passo 4

Vamos substituir integral csc^2(10x) , dx = integral csc^2(u) cdot du10 e 110 integral csc^2(u) , du na integral original:
Podemos fatorar o para fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral csc^2(u) , du = -cot(u) + C . Sabemos que:
110 integral csc^2(u) , du = 110 ( -cot(u) ) + C
Portanto:

Passo 6

Por fim, vamos substituir 110 ( -cot(10x) ) + C = -110 cot(10x) + C de volta para :

Resposta

A integral indefinida é:
integral csc^2(10x) , dx = -110 cot(10x) + C

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