Encontre a inversa de cada matriz dada se possível:
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Vamos usar o método de Gauss–Jordan, isto é, montar [A\mid I] e aplicar operações elementares até obter [I\mid A^{-1}].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [A\mid I]:
\bigl[A\mid I\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 2 &\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Zeramos o elemento da posição (3,1) subtraindo a linha 1 da linha 3:
R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 2 &\mid& -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Zeramos os elementos da coluna 2 fora do pivô em (2,2):
  1. R_1 \leftarrow R_1 - R_2, para eliminar o 1 em (1,2).
  2. R_3 \leftarrow R_3 + R_2, para eliminar o -1 em (3,2).
    O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &\mid& 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 &\mid& -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Normalizamos o pivô em (3,3) dividindo a linha 3 por 3:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &\mid& 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 &\mid& -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

Passo 6

Zeramos os elementos acima do pivô em (3,3):
  1. R_1 \leftarrow R_1 + R_3, para limpar o -1 em (1,3).
  2. R_2 \leftarrow R_2 - R_3, para limpar o 1 em (2,3).
    Fica então
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\mid& \tfrac{2}{3} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\\\ 0 & 1 & 0 &\mid& \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\\\ 0 & 0 & 1 &\mid& -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

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