Encontre a inversa da matriz (se existir).
Exercício 33.
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 8 & -3 \\\\ 1 & 7 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2\\\\ 2 & 8 & -3\\\\ 1 & 7 & 1 \end{pmatrix}
Para isso vamos usar o método de matriz de cofatores: calcular o determinante, a matriz de cofatores, transpor para obter a adjunta e, por fim, dividir pela determinante.

Passo 2

Calculamos o determinante de A expandindo pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}8 & -3\\\ 7 & 1\end{vmatrix} -3\cdot\begin{vmatrix}2 & -3\\\ 1 & 1\end{vmatrix} +(-2)\cdot\begin{vmatrix}2 & 8\\\ 1 & 7\end{vmatrix} =1\cdot(8+21)-3\cdot(2+3)-2\cdot(14-8)=29-15-12=2.
Como \det(A)=2\neq0, a inversa existe.

Passo 3

Agora calculamos a matriz de cofatores \mathrm{C}=(C_{ij}). Os cofatores são
C_{11}=+29,\quad C_{12}=-5,\quad C_{13}=+6,
C_{21}=-17,\quad C_{22}=+3,\quad C_{23}=-4,
C_{31}=+7,\quad C_{32}=-1,\quad C_{33}=+2.
Assim,
\mathrm{C}=\begin{pmatrix} 29 & -5 & 6\\\\ -17 & 3 & -4\\\\ 7 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de \mathrm{C}:
\mathrm{adj}(A)=\mathrm{C}^T =\begin{pmatrix} 29 & -17 & 7\\\\ -5 & 3 & -1\\\\ 6 & -4 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, a inversa é dada por
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 29 & -17 & 7\\\\ -5 & 3 & -1\\\\ 6 & -4 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac{29}{2} & -\tfrac{17}{2} & \tfrac{7}{2}\\\\ -\tfrac{5}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\\\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} =\begin{pmatrix} \tfrac{29}{2} & -\tfrac{17}{2} & \tfrac{7}{2}\\\\ -\tfrac{5}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\\\\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

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