Encontre a inversa da matriz (se existir).
Exercício 34.
\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 5 & 2 & -3 \\\\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a inversa de uma matriz 3\times3. O conteúdo aqui é inversão de matrizes via determinante e matriz adjunta (cofatores). Vamos precisar (1) calcular \det(A) para verificar invertibilidade e (2) encontrar a matriz dos cofatores, transpor e dividir pelo determinante.

Passo 2

Calcular o determinante de
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 5 & 2 & -3\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Usando expansão pela primeira linha:
\det(A) = 2\begin{vmatrix}2 & -3\\\ 2 & 1\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}5 & -3\\\ 0 & 1\end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix}5 & 2\\\ 0 & 2\end{vmatrix}.
Calculando cada menor:
\begin{vmatrix}2 & -3\\\ 2 & 1\end{vmatrix} = 2\cdot1 -(-3)\cdot2 = 8, \quad \begin{vmatrix}5 & -3\\\ 0 & 1\end{vmatrix} = 5\cdot1 -(-3)\cdot0 = 5, \quad \begin{vmatrix}5 & 2\\\ 0 & 2\end{vmatrix} = 5\cdot2 -2\cdot0 = 10.
Logo
\det(A) = 2\cdot8 - 1\cdot5 -1\cdot10 = 16 -5 -10 = 1.
Como \det(A)=1\neq0, a inversa existe.

Passo 3

Encontrar a matriz dos cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
sendo M_{ij} o menor obtido eliminando linha i e coluna j. Calculamos:
C_{11}=+\begin{vmatrix}2 & -3\\\ 2 & 1\end{vmatrix}=8, \quad C_{12}=-\begin{vmatrix}5 & -3\\\ 0 & 1\end{vmatrix}=-5, \quad C_{13}=+\begin{vmatrix}5 & 2\\\ 0 & 2\end{vmatrix}=10,
C_{21}=-\begin{vmatrix}1 & -1\\\ 2 & 1\end{vmatrix}=-3, \quad C_{22}=+\begin{vmatrix}2 & -1\\\ 0 & 1\end{vmatrix}=2, \quad C_{23}=-\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 0 & 2\end{vmatrix}=-4,
C_{31}=+\begin{vmatrix}1 & -1\\\ 2 & -3\end{vmatrix}=-1, \quad C_{32}=-\begin{vmatrix}2 & -1\\\ 5 & -3\end{vmatrix}=1, \quad C_{33}=+\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 5 & 2\end{vmatrix}=-1.
Assim
C = \begin{pmatrix} 8 & -5 & 10\\\\ -3 & 2 & -4\\\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz adjunta de A é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 8 & -3 & -1\\\\ -5 & 2 & 1\\\\ 10 & -4 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como \det(A)=1, a inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A).

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 8 & -3 & -1\\\\ -5 & 2 & 1\\\\ 10 & -4 & -1 \end{pmatrix}.

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