Encontre as inversas
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a(s) inversa(s) dessa função. Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - A função envolve o logaritmo natural
, cujo argumento precisa ser positivo.
Passo 2
O que significa “encontrar a inversa”?
Uma função é inversa de
quando, ao compor uma com a outra, recuperamos a entrada original:
Uma função
para todo
nos domínios apropriados. O procedimento algébrico padrão para achar a inversa é:
- Escrever
. - Trocar
por e por (ou seja, trocar os papéis de entrada e saída). - Resolver a equação resultante para
; a solução expressa em termos de é .
Também é importante checar queé invertível (um-para-um). Aqui, é uma função estritamente crescente e a transformação é estritamente crescente, então é estritamente crescente e, portanto, invertível.
Passo 3
Aplicando o método: primeiro escrevo
Agora troco
por
e
por
:
Para isolar
, uso a definição do logaritmo: se
então a forma exponencial é
Somando
em ambos os lados:
Portanto a expressão da inversa, trocando
por
, é
Passo 4
Verificação por composição (mostra que está certo e quais domínios são necessários):
- Compondo
com :
válido para todo
(porque
sempre).
- Compondo
com :
válido quando
pertence ao domínio de
, ou seja quando
, isto é
.
Essas duas igualdades confirmam que
está correta, com os domínios adequados.
Passo 5
Domínios e imagens (resumo prático):
- Domínio de
: . (porque precisa de ) - Imagem (contradomínio efetivo) de
: . - Domínio de
: . - Imagem de
: .
Dica rápida para a prova: para inversa de uma função do tipo
já decorre o padrão — a inversa é
. Lembre-se sempre de checar domínios.