Encontre as inversas
f(x)=\ln (x-2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln(x-2)
e pede para encontrar a(s) inversa(s) dessa função. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é \ln(x-2).
  • A função envolve o logaritmo natural \ln(\cdot), cujo argumento precisa ser positivo.

Passo 2

O que significa “encontrar a inversa”?
Uma função g é inversa de f quando, ao compor uma com a outra, recuperamos a entrada original:
f(g(x))=x\quad\text{e}\quad g(f(x))=x
para todo x nos domínios apropriados. O procedimento algébrico padrão para achar a inversa é:
  1. Escrever y=f(x).
  2. Trocar x por y e y por x (ou seja, trocar os papéis de entrada e saída).
  3. Resolver a equação resultante para y; a solução y expressa em termos de x é f^{-1}(x).
    Também é importante checar que f é invertível (um-para-um). Aqui, \ln(\cdot) é uma função estritamente crescente e a transformação x\mapsto x-2 é estritamente crescente, então f é estritamente crescente e, portanto, invertível.

Passo 3

Aplicando o método: primeiro escrevo
y=\ln(x-2).
Agora troco x por y e y por x:
x=\ln(y-2).
Para isolar y, uso a definição do logaritmo: se x=\ln(y-2) então a forma exponencial é
e^{x}=y-2.
Somando 2 em ambos os lados:
y=e^{x}+2.
Portanto a expressão da inversa, trocando y por f^{-1}(x), é
f^{-1}(x)=e^{x}+2.

Passo 4

Verificação por composição (mostra que está certo e quais domínios são necessários):
  1. Compondo f com f^{-1}:
f(f^{-1}(x))=\ln\big((e^{x}+2)-2\big)=\ln(e^{x})=x,
válido para todo x\in\mathbb{R} (porque e^{x}>0 sempre).
  1. Compondo f^{-1} com f:
f^{-1}(f(x))=e^{\ln(x-2)}+2=(x-2)+2=x,
válido quando x pertence ao domínio de f, ou seja quando x-2>0, isto é x>2.
Essas duas igualdades confirmam que f^{-1} está correta, com os domínios adequados.

Passo 5

Domínios e imagens (resumo prático):
  • Domínio de f: \{x\in\mathbb{R}\mid x>2\}. (porque precisa de x-2>0)
  • Imagem (contradomínio efetivo) de f: \mathbb{R}.
  • Domínio de f^{-1}: \mathbb{R}.
  • Imagem de f^{-1}: \{y\in\mathbb{R}\mid y>2\}.
Dica rápida para a prova: para inversa de uma função do tipo \ln(x-a) já decorre o padrão — a inversa é e^{x}+a. Lembre-se sempre de checar domínios.

Resposta

f^{-1}(x)=e^{x}+2