Encontre o jacobiano ∂(x, y) / ∂(u, v) da transformação:
x=u \cos v, \quad y=u \operatorname{sen} v

Passo 1

O enunciado pede o jacobiano da transformação
x = u\cos v, \quad y = u\sin v.
O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais e determinante de matriz 2\times2.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de x e y em relação a u e v.
\frac{\partial x}{\partial u} = \cos v
\frac{\partial x}{\partial v} = -\,u\sin v
\frac{\partial y}{\partial u} = \sin v
\frac{\partial y}{\partial v} = u\cos v

Passo 3

Montamos o determinante que define o jacobiano:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos v & -\,u\sin v \\\ \sin v & u\cos v \end{vmatrix}.
Calculando,
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \cos v\cdot(u\cos v) - \bigl(-u\sin v\bigr)\cdot\sin v = u\bigl(\cos^2v+\sin^2v\bigr) = u.

Resposta

\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = u.

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