Encontre o limite ou demonstre que não existe.
29. \lim _{t \rightarrow \infty}\left(\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{t\to\infty}\bigl(\sqrt{25\,t^{2}+2}-5\,t\bigr).
Aqui temos uma forma indeterminada do tipo \infty-\infty. Para resolvê-la, vamos usar a técnica de racionalização, que elimina essa indeterminação.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos a expressão por seu conjugado \sqrt{25\,t^{2}+2}+5\,t:
\sqrt{25\,t^{2}+2}-5\,t = \bigl(\sqrt{25\,t^{2}+2}-5\,t\bigr)\cdot \frac{\sqrt{25\,t^{2}+2}+5\,t}{\sqrt{25\,t^{2}+2}+5\,t}.

Passo 3

No numerador obtemos a diferença de quadrados:
(\sqrt{25\,t^{2}+2})^{2} - (5\,t)^{2} = 25\,t^{2}+2 - 25\,t^{2} = 2.
Logo a expressão vira
\sqrt{25\,t^{2}+2}-5\,t = \frac{2}{\sqrt{25\,t^{2}+2}+5\,t}.

Passo 4

Agora calculemos o limite dessa fração. Para t\to\infty, tanto \sqrt{25\,t^{2}+2} quanto 5\,t crescem sem limite, então o denominador diverge. Formalmente,
\lim_{t\to\infty}\frac{2}{\sqrt{25\,t^{2}+2}+5\,t} = \frac{2}{\infty} = 0.

Resposta

0

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