Encontre o limite superior para as seguintes funções:
f(n)=4 n log n+2 n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o limite superior da função $ f(n) = 4n \log n + 2n $. Para isso, vamos usar conceitos de análise assintótica, especificamente o limite superior conhecido como Big-O. Precisamos entender qual termo da função cresce mais rapidamente conforme $ n $ aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é o limite superior ou Big-O. Ele nos ajuda a descrever o comportamento de uma função quando $ n $ tende ao infinito, focando no termo que mais cresce. Isso é útil para entender a eficiência de algoritmos.

Passo 3

Nossa função é $ f(n) = 4n \log n + 2n $. Ela é composta por dois termos: $ 4n \log n $ e $ 2n $. Precisamos comparar qual desses termos cresce mais rapidamente à medida que $ n $ aumenta.

Passo 4

Analisando os termos:
  • $ 4n \log n $: aqui, o crescimento é proporcional a $ n \log n $.
  • $ 2n $: este cresce de forma linear, proporcional a $ n $.
Sabemos que $ n \log n $ cresce mais rápido que $ n $, porque o 4n log n adiciona uma taxa de crescimento extra.

Passo 5

Como $ 4n \log n $ cresce mais rapidamente que $ 2n $, ele domina o comportamento da função $ f(n) $ para valores grandes de $ n $. Portanto, o limite superior de $ f(n) $ é determinado por $ n \log n $.

Resposta

O limite superior da função é $ O(n \log n) $.

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