Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
Passo 1
O enunciado pede calcular
Esse limite é do tipo indeterminado
. Para resolver sem usar a regra de L’Hôpital, vamos combinar fatoração algébrica com o limite trigonométrico fundamental
Passo 2
Primeiro, verificamos que substituindo
temos
no numerador e
no denominador, confirmando a indeterminação.
Agora fatoramos as expressões:
Agora fatoramos as expressões:
Passo 3
Com essas fatorações, reescrevemos o quociente como
No primeiro fator aparece exatamente a forma
com
.
Passo 4
Aplicando o limite em cada fator:
Como os fatores são independentes, o limite total é