Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
lim _{x \rightarrow 3} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}-9\right)}{x^{2}-5 x+6}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to3}\frac{\sin(x^2 - 9)}{x^2 - 5x + 6}.
Esse limite é do tipo indeterminado \tfrac{0}{0}. Para resolver sem usar a regra de L’Hôpital, vamos combinar fatoração algébrica com o limite trigonométrico fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} = 1.

Passo 2

Primeiro, verificamos que substituindo x=3 temos \sin(3^2-9)=\sin0=0 no numerador e 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 no denominador, confirmando a indeterminação.
Agora fatoramos as expressões:
x^2 - 5x + 6 = (x-3)(x-2), \qquad x^2 - 9 = (x-3)(x+3).

Passo 3

Com essas fatorações, reescrevemos o quociente como
\frac{\sin(x^2 - 9)}{x^2 - 5x + 6} = \frac{\sin\bigl((x-3)(x+3)\bigr)}{(x-3)(x-2)} = \frac{\sin\bigl((x-3)(x+3)\bigr)}{(x-3)(x+3)}\;\cdot\;\frac{x+3}{x-2}.
No primeiro fator aparece exatamente a forma \frac{\sin u}{u} com u=(x-3)(x+3).

Passo 4

Aplicando o limite em cada fator:
\lim_{x\to3}\frac{\sin u}{u} = 1, \qquad \lim_{x\to3}\frac{x+3}{x-2} = \frac{3+3}{3-2} = 6.
Como os fatores são independentes, o limite total é
1 \times 6 = 6.

Resposta

6

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