Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
lim _{x \rightarrow 3} \operatorname{sen}\left(\frac{x^{100}-3 x^{99}}{x^{99}-3 x^{98}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to 3}\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{x^{100}-3x^{99}}{x^{99}-3x^{98}}\Bigr).
Para isso, vamos usar fatoração de potências para simplificar a fração e depois aplicar a propriedade de continuidade da função seno.

Passo 2

Fatorando numerador e denominador temos
\frac{x^{100}-3x^{99}}{x^{99}-3x^{98}} =\frac{x^{99}(x-3)}{x^{98}(x-3)}.
Para x\neq3 podemos cancelar (x-3) e simplificar as potências:
\frac{x^{99}}{x^{98}}=x.
Logo, a expressão dentro do seno fica simplesmente \,x.

Passo 3

Como \displaystyle \lim_{x\to3}x=3 e a função \operatorname{sen} é contínua em todo \mathbb{R}, segue que
\lim_{x\to3}\operatorname{sen}(x) =\operatorname{sen}\bigl(\lim_{x\to3}x\bigr) =\operatorname{sen}(3).

Resposta

\operatorname{sen}(3)

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