Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x} e^{\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\,e^{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{x}\bigr)}.
Note que \sqrt{x} só está definida para x\ge0, então interpretamos o limite como x\to0^+. Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), pois temos um fator \sqrt{x}\to0 e outro fator oscilante mas limitado.

Passo 2

Para x>0 vale
-1 \le \operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{x}\Bigr)\le 1.
Como a função exponencial é crescente, disso segue
e^{-1}\le e^{\operatorname{sen}(\frac{\pi}{x})}\le e^{1}=e.

Passo 3

Multiplicando toda a desigualdade por \sqrt{x}\ge0, obtemos
e^{-1}\,\sqrt{x}\;\le\;\sqrt{x}\,e^{\operatorname{sen}(\frac{\pi}{x})}\;\le\;e\,\sqrt{x}.

Passo 4

Como
\lim_{x\to0^+}e^{-1}\sqrt{x}=e^{-1}\cdot0=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+}e\,\sqrt{x}=e\cdot0=0,
o Teorema do Confronto garante que
\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\,e^{\operatorname{sen}(\frac{\pi}{x})}=0.

Resposta

0

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