Encontre os limites nos exercícios a seguir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \cos \sqrt{|x y|}-1

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \cos\sqrt{|xy|}-1.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\cos\sqrt{|xy|}-1.
  • O ponto onde a variável bidimensional se aproxima é (1,1).
    O que precisamos encontrar: o valor do limite quando (x,y) tende a (1,1).

Passo 2

Idea fundamental que vou usar (explicação didática): limites de funções compostas podem ser calculados avaliando o limite da parte interna quando cada função envolvida é contínua no ponto limite. Vou mostrar passo a passo que as funções envolvidas são contínuas nos pontos relevantes, e assim a composição tem limite igual à composição dos limites.

Passo 3

Primeiro encontre o limite de xy quando (x,y)\to(1,1). Note a identidade algébrica
xy-1=(x-1)y+(y-1).
Quando (x,y)\to(1,1) temos x-1\to0 e y-1\to0. Para ver que xy-1\to0 de forma controlada, observe que em um pequeno vizinhança de (1,1) pode-se garantir |y|\le 2. Assim
|xy-1|\le |x-1||y|+|y-1|\le 2|x-1|+|y-1|.
Como 2|x-1|+|y-1|\to0 quando (x,y)\to(1,1), concluímos
\lim_{(x,y)\to(1,1)} xy = 1.

Passo 4

Agora passe para o valor absoluto. A função t\mapsto|t| é contínua, então aplicando isso ao limite anterior:
\lim_{(x,y)\to(1,1)} |xy| = |\,\lim_{(x,y)\to(1,1)} xy\,| = |1| = 1.
Uma forma alternativa e direta é usar a desigualdade \big||xy|-1\big|\le |xy-1| e o resultado do passo anterior.

Passo 5

A função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em t=1 (e em todo t\ge0). Como |xy|\to1 e |xy| permanece próximo de 1 (logo não negativo), temos por continuidade:
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \sqrt{|xy|} = \sqrt{\lim_{(x,y)\to(1,1)} |xy|} = \sqrt{1} = 1.

Passo 6

A função t\mapsto\cos t é contínua em t=1. Aplicando continuidade à composição obtemos:
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \cos\big(\sqrt{|xy|}\big) = \cos\Big(\lim_{(x,y)\to(1,1)} \sqrt{|xy|}\Big) = \cos 1.

Passo 7

Finalmente, subtrair 1 é uma operação contínua e preserva o limite, logo
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \big(\cos\sqrt{|xy|}-1\big) = \cos 1 - 1.
Se quiser uma aproximação numérica, \cos 1 \approx 0,5403, então \cos 1-1\approx -0,4597.

Resposta

\cos 1 - 1