Encontre os limites usando uma subistituição apropriada:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{-x} \quad Sugestão: t=\frac{x}{2}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x\to+\infty da expressão
\left(1+\frac{2}{x}\right)^{-x}.
Foi dada a sugestão de usar a substituição t=\dfrac{x}{2}. Informação relevante que temos:
  • A variável original é x e o ponto de interesse é x\to+\infty.
  • A sugestão de substituição é t=\dfrac{x}{2}, que relaciona x e t.
  • O objetivo final é calcular o limite numérico (uma constante).

Passo 2

Faço a substituição sugerida. Se t=\dfrac{x}{2}, então x=2t. Quando x\to+\infty temos também t\to+\infty. Substituindo na expressão:
\left(1+\frac{2}{x}\right)^{-x} = \left(1+\frac{2}{2t}\right)^{-2t} = \left(1+\frac{1}{t}\right)^{-2t}.
Reescrevo a potência de forma conveniente:
\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-2t} = \biggl[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\biggr]^{-2}.
Portanto o limite que precisamos é
\lim_{t\to+\infty}\biggl[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\biggr]^{-2}.

Passo 3

Agora usamos um limite padrão muito útil (e que vamos justificar): a sequência/expression
\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}
tende a e quando t\to+\infty. Vou mostrar por que isso é verdade de forma simples.
Considere o logaritmo natural da expressão:
\ln\!\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right] = t\ln\!\left(1+\frac{1}{t}\right).
Faça a mudança u=\dfrac{1}{t}. Quando t\to+\infty temos u\to 0^+. Então
t\ln\!\left(1+\frac{1}{t}\right) = \frac{\ln(1+u)}{u}.
Agora avaliamos \displaystyle\lim_{u\to0^+}\frac{\ln(1+u)}{u}. Isto é uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}; aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador em relação a u) obtemos
\lim_{u\to0^+}\frac{\ln(1+u)}{u} = \lim_{u\to0^+}\frac{1/(1+u)}{1} = \frac{1}{1+0}=1.
Portanto
\lim_{t\to+\infty} t\ln\!\left(1+\frac{1}{t}\right)=1,
o que implica, aplicando a exponencial,
\lim_{t\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}=e^{1}=e.
(Isto é o limite clássico que define e.)

Passo 4

Voltando à nossa expressão reescrita, temos
\lim_{t\to+\infty}\biggl[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\biggr]^{-2} = \biggl(\lim_{t\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\biggr)^{-2} = e^{-2}.
A passagem do limite da base para a potência é válida porque a função potência é contínua e já temos o limite da base.
Alternativamente, poderia-se calcular diretamente o logaritmo do limite original: se L é o limite desejado então
\ln L=\lim_{t\to+\infty} -2t\ln\!\left(1+\frac{1}{t}\right)=-2\cdot 1=-2,
logo L=e^{-2}. (É a mesma conta, só organizada de outro jeito.)

Passo 5

Resumo prático para a prova: fazer t=\dfrac{x}{2} transforma o problema numa forma clássica \bigl(1+\tfrac{1}{t}\bigr)^{t}, que tende a e. Basta então elevar a esse limite o expoente que sobrou (aqui -2).

Resposta

e^{-2}