Encontre os limites usando uma subistituição apropriada:
Sugestão:
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
da expressão
Foi dada a sugestão de usar a substituição
. Informação relevante que temos:
- A variável original é
e o ponto de interesse é . - A sugestão de substituição é
, que relaciona e . - O objetivo final é calcular o limite numérico (uma constante).
Passo 2
Faço a substituição sugerida. Se
, então
. Quando
temos também
. Substituindo na expressão:
Reescrevo a potência de forma conveniente:
Portanto o limite que precisamos é
Passo 3
Agora usamos um limite padrão muito útil (e que vamos justificar): a sequência/expression
tende a
quando
. Vou mostrar por que isso é verdade de forma simples.
Considere o logaritmo natural da expressão:
Faça a mudança
. Quando
temos
. Então
Agora avaliamos
. Isto é uma indeterminação do tipo
; aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador em relação a
) obtemos
Portanto
o que implica, aplicando a exponencial,
(Isto é o limite clássico que define
.)
Passo 4
Voltando à nossa expressão reescrita, temos
A passagem do limite da base para a potência é válida porque a função potência é contínua e já temos o limite da base.
Alternativamente, poderia-se calcular diretamente o logaritmo do limite original: se
é o limite desejado então
logo
. (É a mesma conta, só organizada de outro jeito.)
Passo 5
Resumo prático para a prova: fazer
transforma o problema numa forma clássica
, que tende a
. Basta então elevar a esse limite o expoente que sobrou (aqui
).