e pede para encontrar \mathbf{A}^{-1}. As informações relevantes são:
A matriz depende do parâmetro \;x\;.
Precisamos determinar para quais valores de \;x\; a inversa existe e, quando existir, calcular explicitamente \mathbf{A}^{-1}.
Não faço mais nada neste passo além de listar o que foi dado e o que é pedido.]
Passo 2
Antes de tentar calcular a inversa, é obrigatório verificar quando \mathbf{A} é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Vou calcular \det(\mathbf{A}).
Conclusão importante: \mathbf{A} é invertível exatamente quando -x^{2}\neq 0, ou seja, quando \;x\neq 0\;.]
Passo 3
Vou calcular \mathbf{A}^{-1} assumindo \;x\neq 0\;. O método escolhido é a eliminação por Gauss-Jordan: augmentamos \mathbf{A} com a matriz identidade e fazemos operações elementares de linha para transformar o bloco \mathbf{A} em identidade; o bloco que estiver à direita será então \mathbf{A}^{-1}. Esse método é prático em prova porque transforma sistematicamente a matriz em identidade usando operações que preservam a solução.
Lembrete rápido sobre operações de linha permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, e somar a um linha um múltiplo de outra. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares, que mantêm equivalência.
Passo 4
Escrevo a matriz aumentada [\mathbf{A}\mid \mathbf{I}]: