Encontre a média, a mediana e a moda dos dados, se possível. Se quaisquer dessas medidas não puderem ser encontradas ou não representarem o centro dos dados, explique o porquê.
Ações: O preço recomendado (em dólares) para diversas ações que os analistas prevêem que irão produzir pelo menos 10 \% de retornos anuais.
\begin{array}{llllllllll} 41 & 20 & 22 & 14 & 15 & 25 & 18 & 40 & 17 & 14 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a média, a mediana e a moda dos dados abaixo (os números são os preços recomendados, em dólares):
41,\\\ 20,\\\ 22,\\\ 14,\\\ 15,\\\ 25,\\\ 18,\\\ 40,\\\ 17,\\\ 14
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • 10 observações ao todo, ou seja n=10.
  • As três medidas pedidas são: média aritmética, mediana e moda.
  • Não foi pedido transformar ou eliminar dados; todos os 10 valores devem entrar nos cálculos.

Passo 2

Média: definição e cálculo passo a passo.
A média aritmética é o valor que se obtém somando todos os dados e dividindo pelo número de observações. Em símbolos:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são os valores e n é a quantidade de valores. Aqui n=10.
Somando todos os valores:
41+20+22+14+15+25+18+40+17+14=226.
Agora aplicamos a fórmula:
\bar{x}=\frac{226}{10}=22,6.
Comentário didático: a média leva em conta todos os valores e é sensível a valores muito grandes ou muito pequenos (outliers). Ela representa o “centro de massa” dos dados, mas pode ser puxada para valores extremos.

Passo 3

Mediana: definição e cálculo passo a passo.
A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados. Para calcular:
  1. Ordena-se os dados em ordem crescente.
    Os dados ordenados são:
14,\\\ 14,\\\ 15,\\\ 17,\\\ 18,\\\ 20,\\\ 22,\\\ 25,\\\ 40,\\\ 41.
  1. Como n=10 é par, a mediana é a média dos valores nas posições n/2 e n/2+1, ou seja das posições 5 e 6. Esses valores são x_5=18 e x_6=20.
Calcula-se:
\text{mediana}=\frac{18+20}{2}=19.
Comentário didático: a mediana é robusta a valores extremos — um par de valores muito altos não altera muito a mediana.

Passo 4

Moda: definição e cálculo passo a passo.
A moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência nos dados. Fazendo uma contagem das frequências:
\begin{array}{lcl} 14 &\to& 2\\ \text{vezes},\\\\ 15 &\to& 1\\ \text{vez},\\\\ 17 &\to& 1\\ \text{vez},\\\\ 18 &\to& 1\\ \text{vez},\\\\ 20 &\to& 1\\ \text{vez},\\\\ 22 &\to& 1\\ \text{vez},\\\\ 25 &\to& 1\\ \text{vez},\\\\ 40 &\to& 1\\ \text{vez},\\\\ 41 &\to& 1\\ \text{vez}. \end{array}
O valor mais frequente é 14, que aparece 2 vezes; todos os outros aparecem uma vez. Portanto existe uma moda única:
\text{moda}=14.
Comentário didático: às vezes não há moda (se todos os valores têm frequência 1) ou há mais de uma moda (bimodal, multimodal) se dois ou mais valores empatam na maior frequência. A moda indica o valor mais comum, mas se o conjunto tiver poucas repetições ela pode não refletir bem o “centro” dos dados.

Passo 5

Comparação e interpretação das medidas (qual representa melhor o centro aqui).
  • Resultado obtido: \bar{x}=22,6, mediana =19, moda =14.
  • Observação sobre assimetria: a média ( 22,6) é maior que a mediana ( 19), o que indica que a distribuição está levemente assimétrica à direita — há alguns valores altos ( 40 e 41) puxando a média para cima.
  • Robustez:
    • A média usa todos os valores e é sensível a valores extremos (por isso está acima da mediana).
    • A mediana é resistente a extremos; aqui representa bem um “valor típico” do centro da amostra.
    • A moda ( 14) mostra o preço mais frequentemente recomendado, mas como só aparece duas vezes e os dados são dispersos, a moda não reflete necessariamente o centro da distribuição.
  • Conclusão prática: se for preciso um único número que represente um preço típico resistente a valores muito altos, a mediana ( 19) costuma ser a melhor escolha; se se quer a média dos preços para cálculos agregados ou financeiros, usa-se a média ( 22,6). A moda informa que 14 foi a recomendação mais recorrente, mas não é a melhor medida do “centro” neste conjunto disperso.

Resposta

Média =22,6
Mediana =19
Moda =14