Encontre a média, a mediana e a moda dos dados, se possível. Se quaisquer dessas medidas não puderem ser encontradas ou não representarem o centro dos dados, explique o porquê.
Ações: O preço recomendado (em dólares) para diversas ações que os analistas prevêem que irão produzir pelo menos
de retornos anuais.
Ações: O preço recomendado (em dólares) para diversas ações que os analistas prevêem que irão produzir pelo menos
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a média, a mediana e a moda dos dados abaixo (os números são os preços recomendados, em dólares):
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há
observações ao todo, ou seja . - As três medidas pedidas são: média aritmética, mediana e moda.
- Não foi pedido transformar ou eliminar dados; todos os
valores devem entrar nos cálculos.
Passo 2
Média: definição e cálculo passo a passo.
A média aritmética é o valor que se obtém somando todos os dados e dividindo pelo número de observações. Em símbolos:
A média aritmética é o valor que se obtém somando todos os dados e dividindo pelo número de observações. Em símbolos:
onde
são os valores e
é a quantidade de valores. Aqui
.
Somando todos os valores:
Agora aplicamos a fórmula:
Comentário didático: a média leva em conta todos os valores e é sensível a valores muito grandes ou muito pequenos (outliers). Ela representa o “centro de massa” dos dados, mas pode ser puxada para valores extremos.
Passo 3
Mediana: definição e cálculo passo a passo.
A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados. Para calcular:
A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados. Para calcular:
- Ordena-se os dados em ordem crescente.
Os dados ordenados são:
- Como
é par, a mediana é a média dos valores nas posições e , ou seja das posições e . Esses valores são e .
Calcula-se:
Comentário didático: a mediana é robusta a valores extremos — um par de valores muito altos não altera muito a mediana.
Passo 4
Moda: definição e cálculo passo a passo.
A moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência nos dados. Fazendo uma contagem das frequências:
A moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência nos dados. Fazendo uma contagem das frequências:
O valor mais frequente é
, que aparece
vezes; todos os outros aparecem uma vez. Portanto existe uma moda única:
Comentário didático: às vezes não há moda (se todos os valores têm frequência
) ou há mais de uma moda (bimodal, multimodal) se dois ou mais valores empatam na maior frequência. A moda indica o valor mais comum, mas se o conjunto tiver poucas repetições ela pode não refletir bem o “centro” dos dados.
Passo 5
Comparação e interpretação das medidas (qual representa melhor o centro aqui).
- Resultado obtido:
, mediana , moda . - Observação sobre assimetria: a média (
) é maior que a mediana ( ), o que indica que a distribuição está levemente assimétrica à direita — há alguns valores altos ( e ) puxando a média para cima. - Robustez:
- A média usa todos os valores e é sensível a valores extremos (por isso está acima da mediana).
- A mediana é resistente a extremos; aqui representa bem um “valor típico” do centro da amostra.
- A moda (
) mostra o preço mais frequentemente recomendado, mas como só aparece duas vezes e os dados são dispersos, a moda não reflete necessariamente o centro da distribuição.
- Conclusão prática: se for preciso um único número que represente um preço típico resistente a valores muito altos, a mediana (
) costuma ser a melhor escolha; se se quer a média dos preços para cálculos agregados ou financeiros, usa-se a média ( ). A moda informa que foi a recomendação mais recorrente, mas não é a melhor medida do “centro” neste conjunto disperso.
Resposta
Média
Mediana
Moda
Mediana
Moda