Encontre a operação elementar de linha que transforma a primeira matriz na segunda e também no sentido inverso.
\left[ \begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 5 & 1 \\ 3 & -4 & 7 & 2\end{array}\right],\left[ \begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & 2 & 7 & -7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes (peguei todas as entradas do enunciado) e pede: encontrar a operação elementar de linha que transforma a primeira na segunda e também a operação inversa que transforma a segunda de volta para a primeira.
As matrizes fornecidas são:
A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\[4pt] 0 & 3 & 5 & 1 \\[4pt] 3 & -4 & 7 & 2\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\[4pt] 0 & 3 & 5 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 7 & -7\end{bmatrix}.
O que precisa ser respondido:
  • Qual operação elementar de linha transforma A em B?
  • Qual é a operação inversa que transforma B de volta em A?]

Passo 2

Lembrete rápido sobre operações elementares de linha (para eu entender e usar na prova):
  • Há três tipos de operações elementares de linha:
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j.
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow c\,R_i com c\neq0.
    3. somar múltiplo de uma linha em outra: R_i \leftarrow R_i + k\,R_j (onde i\neq j e k é escalar).
  • A operação que altera apenas uma linha pela combinação com outra é do tipo 3. A inversa de R_i \leftarrow R_i + k\,R_j é R_i \leftarrow R_i - k\,R_j.

Passo 3

Observo quais linhas mudaram entre A e B:
  • R_1 em A é (1,-2,0,3) e em B é igual (1,-2,0,3) — não mudou.
  • R_2 em A é (0,3,5,1) e em B é igual (0,3,5,1) — não mudou.
  • R_3 em A é (3,-4,7,2) e em B é (0,2,7,-7) — só R_3 mudou.
Isso indica que a operação é do tipo 3, atuando em R_3 usando R_1 e/ou R_2. Vou ver qual combinação de R_1 e R_2 levou de R_3 de A para R_3 de B.

Passo 4

Calculo a diferença entre a terceira linha de B e a terceira linha de A:
R_3^{(B)} - R_3^{(A)} = (0,2,7,-7) - (3,-4,7,2) = (-3,6,0,-9).
Agora comparo esse vetor com múltiplos das linhas que permanecem (principalmente com R_1):
R_1 = (1,-2,0,3),\quad -3R_1 = -3(1,-2,0,3)=(-3,6,0,-9).
Portanto temos
R_3^{(B)} = R_3^{(A)} + (-3)R_1 = R_3^{(A)} - 3R_1.

Passo 5

Interpretação final da operação que transforma A em B:
  • Aplicando a operação R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1 em A obtemos R_3^{(B)}. Verificação componente a componente: 3 - 3\cdot1 = 0,\qquad -4 - 3\cdot(-2)= -4 +6 = 2,
7 - 3\cdot0 = 7,\qquad 2 - 3\cdot3 = 2 -9 = -7,
que coincide com a terceira linha de B. Logo a operação é exatamente R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.

Passo 6

Construção da operação inversa:
  • A inversa de R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1 é R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1.
  • Verificação aplicando a inversa em B: 0 + 3\cdot1 = 3,\qquad 2 + 3\cdot(-2)=2-6=-4,
7 + 3\cdot0 =7,\qquad -7 + 3\cdot3 = -7 +9 = 2,
que recupera a terceira linha de A. Portanto a inversa está correta.

Resposta

\;R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1
\;R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1