Encontre uma parametrização da superfície. (Existem várias maneiras corretas de fazer isso, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que constam no final do livro.)
Tronco de cone A porção no primeiro octante do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} / 2 entre os planos z=0 e z=3.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da porção, no primeiro octante, do cone
z = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}
entre os planos z=0 e z=3. O conteúdo que vamos usar é a descrição de superfícies em coordenadas cilíndricas, onde x = r\cos\theta, y = r\sin\theta e, no nosso caso, a relação implícita z = r/2.

Passo 2

Na fórmula do cone em cilíndricas temos
z = \frac{r}{2}
que podemos reescrever isolando r:
r = 2z.

Passo 3

Escolhemos como parâmetros o próprio z e o ângulo \theta. Como a porção está no primeiro octante, temos
0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}, \quad 0 \le z \le 3.

Passo 4

Substituindo r = 2z em x = r\cos\theta e y = r\sin\theta, obtemos a parametrização
\mathbf{r}(z,\theta) = \bigl(2z\cos\theta,\;2z\sin\theta,\;z\bigr),
com (z,\theta) variando em [0,3]\times[0,\pi/2].

Resposta

A parametrização pode ser escrita como
\mathbf{r}(z,\theta) = \bigl(2z\cos\theta,\;2z\sin\theta,\;z\bigr), \quad 0 \le z \le 3, \; 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.

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