Encontre um ponto final Q de um vetor não nulo u=P Q de ponto inicial P(-1,3,-5) tal que
(a) u tem a mesma direção e sentido de v=(6,7,-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre vetores no espaço tridimensional. Queremos encontrar um ponto final para o vetor , que começa no ponto . A condição é que tenha a mesma direção e sentido do vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores podem ser escalados para ter a mesma direção e sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando dois vetores têm a mesma direção e sentido, eles são múltiplos escalares um do outro. Isso significa que existe um número real u = k cdot v tal que:
Aqui, deve ser positivo para garantir que o sentido seja o mesmo.

Passo 3

Vamos expressar o vetor u = PQ = Q - P em termos das coordenadas dos pontos u = (x - (-1), y - 3, z - (-5)) = (x + 1, y - 3, z + 5) e . Sabemos que:
Se , então:

Passo 4

Agora, igualamos (x + 1, y - 3, z + 5) = k cdot (6, 7, -3) = (6k, 7k, -3k) à expressão de x + 1 = 6k :
y - 3 = 7k
Isso nos dá três equações:
z + 5 = -3k

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar x = 6k - 1 , y = 7k + 3 e z = -3k - 5 em termos de :

Passo 6

Como precisamos apenas de um ponto x = 6(1) - 1 = 5 , podemos escolher um valor para y = 7(1) + 3 = 10 . Geralmente, escolhemos z = -3(1) - 5 = -8 para simplificar, a menos que haja uma condição específica. Então, vamos definir :

Resposta

O ponto final é .

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