Encontre o ponto simétrico
do ponto
em relação à reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto simétrico $ Q $ do ponto $ P = (4, 1, 6) $ em relação à reta dada pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre simetria em relação a uma reta no espaço. Precisamos encontrar um ponto $ Q $ que é o reflexo de $ P $ em relação à reta fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta. Nas equações paramétricas, os coeficientes de $ t $ são os componentes do vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor $ \vec{d} $ é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor que vai do ponto $ P $ até a reta. Para isso, escolhemos um ponto qualquer na reta. Quando $ t = 0 $, os pontos na reta são $ (5, 17, 0) $.
Então, o vetor $ \vec{v} $ de $ P $ a este ponto é:
Passo 4
Para encontrar a projeção de $ \vec{v} $ no vetor diretor $ \vec{d} $, usamos a fórmula da projeção:
Calculando o produto escalar $ \vec{v} \cdot \vec{d} $:
Calculando $ \vec{d} \cdot \vec{d} $:
Então, a projeção é:
Passo 5
Agora, temos o ponto na reta que é a projeção de $ P $. Chamemos esse ponto de $ M $. Como $ M $ está na reta, adicionamos a projeção ao ponto inicial da reta:
Passo 6
O ponto simétrico $ Q $ é tal que $ M $ é o ponto médio de $ P $ e $ Q $. Então, podemos usar a fórmula do ponto médio:
Despejando para $ Q $:
Substituindo os valores:
Resposta
O ponto simétrico $ Q $ é $ (-10,\ 49,\ -14) $.