Encontre o ponto simétrico Q do ponto P=(4,1,6) em relação à reta
l x=5+2 t y=17-2 t , t in R z=t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto simétrico $ Q $ do ponto $ P = (4, 1, 6) $ em relação à reta dada pelas equações paramétricas:
Q
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre simetria em relação a uma reta no espaço. Precisamos encontrar um ponto $ Q $ que é o reflexo de $ P $ em relação à reta fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta. Nas equações paramétricas, os coeficientes de $ t $ são os componentes do vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor $ \vec{d} $ é:
t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor que vai do ponto $ P $ até a reta. Para isso, escolhemos um ponto qualquer na reta. Quando $ t = 0 $, os pontos na reta são $ (5, 17, 0) $.
Então, o vetor $ \vec{v} $ de $ P $ a este ponto é:
P

Passo 4

Para encontrar a projeção de $ \vec{v} $ no vetor diretor $ \vec{d} $, usamos a fórmula da projeção:
v
Calculando o produto escalar $ \vec{v} \cdot \vec{d} $:
d
Calculando $ \vec{d} \cdot \vec{d} $:
projd v = ( v cdot dd cdot d ) d
Então, a projeção é:
v cdot d

Passo 5

Agora, temos o ponto na reta que é a projeção de $ P $. Chamemos esse ponto de $ M $. Como $ M $ está na reta, adicionamos a projeção ao ponto inicial da reta:
P

Passo 6

O ponto simétrico $ Q $ é tal que $ M $ é o ponto médio de $ P $ e $ Q $. Então, podemos usar a fórmula do ponto médio:
Q
Despejando para $ Q $:
M
Substituindo os valores:
P

Resposta

O ponto simétrico $ Q $ é $ (-10,\ 49,\ -14) $.

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