Encontre o ponto sobre a hipérbole
que está mais próximo ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede o ponto sobre a hipérbole
que fica mais próximo de
. O conteúdo é otimização com restrição dada pela própria curva. Vamos transformar o problema num de minimizar a distância ao quadrado, expressar
em função de
e achar o mínimo usando derivada.
Passo 2
Como
, a distância ao quadrado de
a
é
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Para extremos, impomos
:
Passo 4
Fatorando
obtemos
O único zero real positivo é
. Então
Passo 5
Para confirmar que esse ponto é mínimo, note que
logo é um mínimo.
Resposta
O ponto da hipérbole
mais próximo de
é
.