Encontre o ponto sobre a hipérbole x y=8 que está mais próximo ao ponto (3,0).

Passo 1

O enunciado pede o ponto sobre a hipérbole xy=8 que fica mais próximo de (3,0). O conteúdo é otimização com restrição dada pela própria curva. Vamos transformar o problema num de minimizar a distância ao quadrado, expressar y em função de x e achar o mínimo usando derivada.

Passo 2

Como y=\frac{8}{x}, a distância ao quadrado de (x,y) a (3,0) é
D(x) = (x-3)^2 + \Bigl(\tfrac{8}{x}\Bigr)^2.

Passo 3

Calculamos a derivada de D(x):
D'(x) = 2(x-3) + 2\Bigl(\tfrac{8}{x}\Bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{8}{x^2}\bigr) = 2(x-3) - \tfrac{128}{x^3}.
Para extremos, impomos D'(x)=0:
2(x-3) - \tfrac{128}{x^3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^4 -6x^3 -128 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^4 -3x^3 -64 = 0.

Passo 4

Fatorando x^4 -3x^3 -64 obtemos
x^4 -3x^3 -64 = (x-4)\bigl(x^3 + x^2 +4x +16\bigr).
O único zero real positivo é x=4. Então
y = \frac{8}{x} = \frac{8}{4} = 2.

Passo 5

Para confirmar que esse ponto é mínimo, note que
D''(x) = 2 + \frac{384}{x^4} > 0 \quad\text{para }x>0,
logo é um mínimo.

Resposta

O ponto da hipérbole xy=8 mais próximo de (3,0) é (4,2).

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