Encontre os pontos da elipse y^2 = 2 x que estão mais próximos de 1,4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos da elipse que estão mais próximos do ponto . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica e vamos precisar usar conceitos de minimização de distância e derivadas para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, é importante notar que a equação na verdade representa uma parábola, não uma elipse. Mas vamos seguir com ela mesmo assim.
Queremos encontrar o ponto na parábola que está mais próximo de . Para isso, vamos minimizar a distância entre e .

Passo 3

A distância entre dois pontos e é dada pela fórmula:
Como estamos interessados em minimizar essa distância, podemos minimizar o quadrado da distância para facilitar os cálculos:

Passo 4

Sabemos que está na parábola , então podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na expressão de :

Passo 5

Agora, expandimos a expressão para facilitar a derivação:

Passo 6

Para encontrar o valor de que minimiza , calculamos a derivada em relação a e igualamos a zero:

Passo 7

Com , encontramos usando a equação da parábola:

Resposta

O ponto da parábola que está mais próximo de é .

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