Encontre os pontos da reta
r: X=(2,0,2)+alpha(-1,1,-2)
que distam raiz6 do plano pi: x-2 y-z-1=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos da reta que estão a uma distância de do plano . A matéria que vamos usar aqui é a geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano. Vamos precisar aplicar essa fórmula e resolver uma equação para achar os valores de que nos dão os pontos desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto d = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 a um plano . A fórmula é:
Aqui, é a distância, e são os coeficientes da equação do plano.

Passo 3

Agora, vamos expressar um ponto qualquer X = (2,0,2) + alpha(-1,1,-2) na reta x = 2 - alpha em termos do parâmetro y = 0 + alpha = alpha . A equação da reta nos dá:
z = 2 - 2alpha
Isso significa que as coordenadas de um ponto na reta são:

Passo 4

Vamos usar a fórmula da distância para calcular a distância desse ponto d = |(1)(2 - alpha) + (-2)(alpha) + (-1)(2 - 2alpha) - 1|raiz1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 ao plano = |2 - alpha - 2alpha - 2 + 2alpha - 1| = |- alpha -1| . Substituindo na fórmula:
raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Vamos simplificar o numerador:
d = |,-alpha -1,|raiz6 = |alpha +1|raiz6
E o denominador:
Então, a distância fica:

Passo 5

Sabemos que essa distância |alpha +1|raiz6 = raiz6 deve ser igual a |alpha +1| = 6 . Então, temos a equação:
alpha +1 = 6 ou alpha +1 = -6
Multiplicando ambos os lados por alpha = 5 ou alpha = -7 :
Isso nos dá duas possibilidades:
Resolvendo para :

Resposta

Os pontos da reta que estão a uma distância de X = (2 - 5,, 5,, 2 - 2 times 5) = (-3,, 5,, -8) do plano X = (2 - (-7),, -7,, 2 - 2 times (-7)) = (9,, -7,, 16) são:
Para :
Para :
Então, os pontos são e .

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