Encontre os pontos da reta
que distam
do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos da reta
que estão a uma distância de
do plano
. A matéria que vamos usar aqui é a geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano. Vamos precisar aplicar essa fórmula e resolver uma equação para achar os valores de
que nos dão os pontos desejados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto
a um plano
. A fórmula é:
Aqui,
é a distância, e
são os coeficientes da equação do plano.
Passo 3
Agora, vamos expressar um ponto qualquer
na reta
em termos do parâmetro
. A equação da reta nos dá:
Isso significa que as coordenadas de um ponto na reta são:
Passo 4
Vamos usar a fórmula da distância para calcular a distância desse ponto
ao plano
. Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar o numerador:
E o denominador:
Então, a distância fica:
Passo 5
Sabemos que essa distância
deve ser igual a
. Então, temos a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Resolvendo para
:
Resposta
Os pontos da reta que estão a uma distância de
do plano
são:
Para
:
Para
:
Então, os pontos são
e
.