1. Encontre, se possível, a função na forma f(x)=a x+b ou f(x)=C a^{x} partir das tabelas a seguir:
(c)
x 0 1 2
f(x) 3 6 8

Passo 1

O enunciado fornece a tabela com três pontos:
  • Para x=0 tem f(0)=3.
  • Para x=1 tem f(1)=6.
  • Para x=2 tem f(2)=8.
O que se pede: verificar se existe uma função da forma f(x)=a x+b ou uma função da forma f(x)=C a^{x} que passe por esses três pontos e, se existir, encontrá‑la.

Passo 2

Vamos testar primeiro a possibilidade linear f(x)=a x+b.
Explicando a fórmula: em f(x)=a x+b, a é a inclinação (quanto f cresce quando x aumenta de 1) e b é o valor de f em x=0 (intercepto no eixo y).
Usando o ponto x=0:
f(0)=a\cdot0+b=b=3,
logo \;b=3.
Usando o ponto x=1:
f(1)=a\cdot1+b=a+3=6.
Daí \;a=6-3=3.
Portanto a reta determinada pelos dois primeiros pontos seria \;f(x)=3x+3.
Agora verificar se esse f satisfaz o ponto x=2:
f(2)=3\cdot2+3=6+3=9.
Mas a tabela dá f(2)=8. Como 9\neq8, não existe reta da forma \;f(x)=ax+b que passe pelos três pontos simultaneamente. (Comentário prático: duas condições bastam para determinar uma reta; o terceiro ponto confirma ou contradiz.)

Passo 3

Agora testar a possibilidade exponencial \;f(x)=C a^{x}.
Explicando a fórmula: em \;f(x)=C a^{x}, C é o valor inicial \;f(0) e a é a razão multiplicativa quando avançamos uma unidade em x (ou seja, f(x+1)=a\cdot f(x) se a lei for exatamente exponencial).
Usando o ponto x=0:
f(0)=C a^{0}=C=3,
logo \;C=3.
Usando o ponto x=1:
f(1)=3\cdot a =6,
daí \;a=\dfrac{6}{3}=2.
Com esses parâmetros teríamos \;f(x)=3\cdot 2^{x}. Verificamos com x=2:
f(2)=3\cdot 2^{2}=3\cdot4=12.
Mas a tabela dá f(2)=8. Como 12\neq8, a forma \;f(x)=C a^{x} também não se ajusta aos três pontos.
Uma verificação rápida e intuitiva: para uma lei exponencial pura as razões consecutivas \dfrac{f(1)}{f(0)} e \dfrac{f(2)}{f(1)} devem ser iguais (ambas iguais a a). Aqui
\frac{f(1)}{f(0)}=\frac{6}{3}=2, \qquad \frac{f(2)}{f(1)}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx1{,}333\ldots
Como as razões não são iguais, não é exponencial do tipo pedido.

Passo 4

Conclusão e interpretação didática curta: com três pontos no plano, uma reta é totalmente determinada por dois pontos; se o terceiro não estiver sobre essa reta, não existe reta que passe pelos três. Para exponencial da forma C a^{x} vale que C=f(0) e as razões entre termos consecutivos devem ser constantes; aqui não são. Portanto nenhum dos dois modelos pedidos ajusta todos os dados da tabela.
Força aí — é comum em provas aparecerem tabelas que parecem seguir um padrão nos dois primeiros pontos e falham no terceiro; sempre verifique o terceiro ponto como teste de consistência.

Resposta

Não existe função da forma f(x)=ax+b que passe pelos três pontos;
Não existe função da forma f(x)=C a^{x} que passe pelos três pontos.