1. Encontre, se possível, a função na forma f(x)=a x+b ou f(x)=C a^{x} partir das tabelas a seguir:
(b)
x 0 1 2
f(x) 3 6 12

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se possível, uma função da forma f(x)=a x+b (reta) ou f(x)=C a^{x} (exponencial) que reproduza os valores da tabela. A tabela fornecida é:
  • x=0 tem f(x)=3.
  • x=1 tem f(x)=6.
  • x=2 tem f(x)=12.
As perguntas implícitas são: existe uma reta f(x)=a x+b que passa por esses três pontos? Ou existe uma função exponencial f(x)=C a^{x} que passa por esses pontos? Vou testar ambas as possibilidades.

Passo 2

Teste para a forma linear f(x)=a x+b.
  • Primeiro, usar o ponto x=0. Substituindo em f(x)=a x+b obtemos
f(0)=a\cdot 0 + b = b.
Como f(0)=3, segue que
b=3.
  • Agora usar o ponto x=1. Substituindo em f(x)=a x+b com b=3
f(1)=a\cdot 1 + 3 = a+3.
Como f(1)=6, obtemos
a+3=6 \quad\Rightarrow\quad a=3.
  • Verificação no ponto x=2. Com a=3 e b=3,
f(2)=a\cdot 2 + b = 3\cdot 2 + 3 = 6 + 3 = 9.
Mas a tabela diz f(2)=12. Como 9\neq 12, os três pontos não estão sobre a mesma reta. Conclusão: não existe f(x)=a x+b que atenda aos três valores.
Explicação didática rápida: para que três valores sequenciais sejam da mesma reta, as diferenças sucessivas f(1)-f(0) e f(2)-f(1) devem ser iguais (a inclinação é constante). Aqui f(1)-f(0)=6-3=3 e f(2)-f(1)=12-6=6, que são diferentes, portanto não é linear.

Passo 3

Teste para a forma exponencial f(x)=C a^{x}.
  • Usar o ponto x=0. Substituindo em f(x)=C a^{x} obtemos
f(0)=C a^{0} = C\cdot 1 = C.
Como f(0)=3, segue que
C=3.
  • Usar o ponto x=1. Substituindo C=3 em f(1)=C a^{1}
f(1)=3 a.
Como f(1)=6, temos
3 a = 6 \quad\Rightarrow\quad a=2.
  • Verificação no ponto x=2. Com C=3 e a=2,
f(2)=3\cdot 2^{2} = 3\cdot 4 = 12,
que coincide com o valor da tabela. Portanto os três pontos são perfeitamente descritos por
f(x)=3\cdot 2^{x}.
Explicação didática rápida: para uma sequência exponencial (função da forma C a^{x}) os quocientes sucessivos \dfrac{f(1)}{f(0)} e \dfrac{f(2)}{f(1)} devem ser iguais (o fator multiplicativo é constante). Aqui \dfrac{6}{3}=2 e \dfrac{12}{6}=2, então o fator comum é 2, confirmando a forma exponencial com base 2.

Passo 4

Resumo do procedimento que você pode usar na prova (passo a passo prático):
  • Se tiver suspeita de função linear f(x)=a x+b:
    1. Use x=0 para obter b=f(0).
    2. Use x=1 para achar a=f(1)-b.
    3. Verifique todos os outros pontos: calcule a x + b e compare com os valores dados. Alternativamente, cheque se as diferenças sucessivas são todas iguais.
  • Se suspeitar de função exponencial f(x)=C a^{x}:
    1. Use x=0 para obter C=f(0).
    2. Use x=1 para achar a=f(1)/C.
    3. Verifique os outros pontos: calcule C a^{x} e compare. Alternativamente, cheque se os quocientes sucessivos são todos iguais.
Dica amiga: sempre comece por x=0 quando estiver nas formas ax+b ou C a^{x} — isso simplifica muito porque elimina termos e dá direto b ou C.

Resposta

f(x)=3\cdot 2^{x}