Encontre a primitiva mais geral da função.
f(x) = sen(x) / cos^2(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a primitiva mais geral da função . Isso faz parte do estudo de integrais em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável. Observando a função , percebemos que o denominador pode ser uma boa candidata para substituição.
Vamos definir:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Calculando :
Note que temos na nossa função original, então podemos rearranjar para expressar em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando a integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo :
Sabemos que é a definição da função secante:

Resposta

A primitiva mais geral de é:
onde é a constante de integração.

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