Encontre o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
\mathbf{a}=\langle 1,2,-3\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 5,-1,-2\rangle

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede o produto vetorial:
  • Vetor \mathbf{a}=\langle 1,2,-3\rangle.
  • Vetor \mathbf{b}=\langle 5,-1,-2\rangle.
O que se pede: calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b}.

Passo 2

O que é o produto vetorial (uma explicação curta e prática):
  • O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta em um vetor que é perpendicular (ortogonal) a ambos os vetores dados.
  • Uma fórmula direta para calcular as componentes é usar o determinante formal com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
  • Em termos de componentes isso vira a fórmula prática
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\rangle.
Aqui a_1,a_2,a_3 são as componentes de \mathbf{a} (respectivamente x,y,z) e b_1,b_2,b_3 as de \mathbf{b}.

Passo 3

Identificar as componentes para substituir na fórmula:
  • Para \mathbf{a}: a_1=1,\; a_2=2,\; a_3=-3.
  • Para \mathbf{b}: b_1=5,\; b_2=-1,\; b_3=-2.
Agora vamos calcular cada componente usando a fórmula componente a componente.

Passo 4

Calcular a primeira componente (componente x):
a_2 b_3 - a_3 b_2 = 2\cdot(-2) - (-3)\cdot(-1).
Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot(-2) = -4,\qquad (-3)\cdot(-1)=3,
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\text{primeira componente} = -4 - 3 = -7.

Passo 5

Calcular a segunda componente (componente y):
a_3 b_1 - a_1 b_3 = (-3)\cdot 5 - 1\cdot(-2).
Passo a passo:
(-3)\cdot 5 = -15,\qquad 1\cdot(-2) = -2,
então
\text{segunda componente} = -15 - (-2) = -15 + 2 = -13.

Passo 6

Calcular a terceira componente (componente z):
a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1\cdot(-1) - 2\cdot 5.
Passo a passo:
1\cdot(-1) = -1,\qquad 2\cdot 5 = 10,
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\text{terceira componente} = -1 - 10 = -11.

Passo 7

Verificação (importante para a prova): o produto vetorial deve ser ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. Verificar os produtos escalares usando as componentes calculadas ( -7,\,-13,\,-11):
Produto escalar com \mathbf{a}:
(-7)\cdot 1 + (-13)\cdot 2 + (-11)\cdot(-3) = -7 -26 +33 = 0.
Produto escalar com \mathbf{b}:
(-7)\cdot 5 + (-13)\cdot(-1) + (-11)\cdot(-2) = -35 +13 +22 = 0.
Como ambos dão zero, o vetor calculado é realmente perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}, o que confirma que os cálculos estão corretos.

Resposta

\langle -7,-13,-11\rangle