Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
(h) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
com a convenção 1/0=+\infty. Explico por que: para uma série \sum c_n x^n a razão entre termos consecutivos é |c_{n+1}x^{n+1}|/|c_n x^n|=|x|\cdot|c_{n+1}/c_n|; se |x|\ell<1 a razão tende para algo <1 e a série converge absolutamente, e se |x|\ell>1 diverge.
Passo 3
Calculo explicitamente a razão entre coeficientes consecutivos. Usando a definição de fatorial duplo dos ímpares,
Como \ell=0, pela relação do passo anterior segue que
R=\frac{1}{\ell}= \frac{1}{0}=+\infty.
Passo 5
Interpretação: R=+\infty significa que a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Posso verificar diretamente com o teste da razão aplicado aos termos da série com x fixo:
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge absolutamente para qualquer x\in\mathbb{R}.
Passo 6
Um comentário extra (intuição): usando a identidade
(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^{n}n!},
vemos que o denominador cresce pelo menos tão rápido quanto uma combinação grande de fatoriais, o que explica por que a série admite todos os x — os denominadores crescem muito rápido e aniquilam potências x^n mesmo para x grande.
Resposta
Raio de convergência: R=+\infty.
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty).