Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
(h) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot(2n-1)}.
Informações dadas e o que devemos identificar:
  • A série é uma série de potências centrada em 0 com termo geral \dfrac{x^n}{1\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2n-1)}.
  • O denominador 1\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2n-1) é o fatorial duplo dos ímpares até 2n-1. Vou denotar esse denominador por (2n-1)!!.
  • Precisamos achar o raio de convergência R (valor real não negativo ou +\infty) e o intervalo de convergência na reta real.

Passo 2

Defino o coeficiente da série de potências. Escrevo o termo geral da forma padrão \sum_{n=1}^{\infty} c_n x^n com
c_n=\frac{1}{(2n-1)!!}.
Vou usar o teste da razão (razão entre coeficientes consecutivos) para determinar o raio R. Resultado útil que vou usar: se
\ell=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|
existe, então o raio de convergência é
R=\frac{1}{\ell},
com a convenção 1/0=+\infty. Explico por que: para uma série \sum c_n x^n a razão entre termos consecutivos é |c_{n+1}x^{n+1}|/|c_n x^n|=|x|\cdot|c_{n+1}/c_n|; se |x|\ell<1 a razão tende para algo <1 e a série converge absolutamente, e se |x|\ell>1 diverge.

Passo 3

Calculo explicitamente a razão entre coeficientes consecutivos. Usando a definição de fatorial duplo dos ímpares,
(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)!!.
Portanto
c_{n+1}=\frac{1}{(2n+1)!!}=\frac{1}{(2n+1)(2n-1)!!}=\frac{1}{2n+1}\cdot\frac{1}{(2n-1)!!}=\frac{1}{2n+1}\,c_n.
Logo a razão é
\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{1}{2n+1}.

Passo 4

Tomo o limite da razão calculada:
\ell=\lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0.
Como \ell=0, pela relação do passo anterior segue que
R=\frac{1}{\ell}= \frac{1}{0}=+\infty.

Passo 5

Interpretação: R=+\infty significa que a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Posso verificar diretamente com o teste da razão aplicado aos termos da série com x fixo:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\dfrac{x^{\,n+1}}{(2n+1)!!}}{\dfrac{x^{\,n}}{(2n-1)!!}}\right| =|x|\lim_{n\to\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n+1)!!} =|x|\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0.
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge absolutamente para qualquer x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Um comentário extra (intuição): usando a identidade
(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^{n}n!},
vemos que o denominador cresce pelo menos tão rápido quanto uma combinação grande de fatoriais, o que explica por que a série admite todos os x — os denominadores crescem muito rápido e aniquilam potências x^n mesmo para x grande.

Resposta

Raio de convergência: R=+\infty.
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty).