Encontre as raízes das seguintes funções:
(b) f(x)=x^{3}+2 x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as raízes da função polinomial f(x)=x^{3}+2x^{2}+x.
Informações fornecidas:
  • A função é o polinômio de grau 3 dado por f(x)=x^{3}+2x^{2}+x.
  • Precisa-se determinar todos os valores de x tais que f(x)=0.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “raiz” de uma função polinomial: uma raiz é um número x que satisfaça
f(x)=0.
Ou seja, precisamos resolver a equação
x^{3}+2x^{2}+x=0.
A ideia é transformar essa expressão em um produto de fatores mais simples; cada fator igual a zero dará uma raiz.

Passo 3

Procuro fatores comuns em todos os termos do polinômio. Os termos são x^{3}, 2x^{2} e x; todos têm um fator x em comum. Fatorando x em evidência:
x^{3}+2x^{2}+x = x\bigl(x^{2}+2x+1\bigr).
Aqui fiz: retirei x e dividi cada termo por x, ficando x^{2}+2x+1 dentro do parêntese.

Passo 4

Agora resolvemos a equação produto igual a zero. Pela propriedade do produto nulo, se
x\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)=0,
então ou x=0 ou x^{2}+2x+1=0.
Vamos analisar a segunda equação quadrática. Observamos que x^{2}+2x+1 é um quadrado perfeito, porque
(x+1)^{2} = x^{2}+2x+1.
Portanto
x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}.

Passo 5

Substituindo de volta, a fatoração completa do polinômio é
f(x)=x(x+1)^{2}.
Assim as soluções da equação f(x)=0 vêm dos fatores iguais a zero:
  • Do fator x vem a raiz x=0.
  • Do fator (x+1)^{2} vem a raiz x=-1. Como o fator é quadrado, x=-1 é uma raiz de multiplicidade 2 (ou seja, é uma raiz dupla).

Passo 6

Verificação rápida (substituição):
f(0)=0^{3}+2\cdot0^{2}+0=0,
f(-1)=(-1)^{3}+2(-1)^{2}+(-1) = -1+2-1=0.
Ambos satisfazem f(x)=0, confirmando as raízes.

Resposta

x=0
x=-1 (multiplicidade 2)