Encontre as raízes das seguintes funções:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as raízes da função polinomial
.
Informações fornecidas:
- A função é o polinômio de grau 3 dado por
. - Precisa-se determinar todos os valores de
tais que .
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “raiz” de uma função polinomial: uma raiz é um número
que satisfaça
Ou seja, precisamos resolver a equação
A ideia é transformar essa expressão em um produto de fatores mais simples; cada fator igual a zero dará uma raiz.
Passo 3
Procuro fatores comuns em todos os termos do polinômio. Os termos são
,
e
; todos têm um fator
em comum. Fatorando
em evidência:
Aqui fiz: retirei
e dividi cada termo por
, ficando
dentro do parêntese.
Passo 4
Agora resolvemos a equação produto igual a zero. Pela propriedade do produto nulo, se
então ou
ou
.
Vamos analisar a segunda equação quadrática. Observamos que
é um quadrado perfeito, porque
Portanto
Passo 5
Substituindo de volta, a fatoração completa do polinômio é
Assim as soluções da equação
vêm dos fatores iguais a zero:
- Do fator
vem a raiz . - Do fator
vem a raiz . Como o fator é quadrado, é uma raiz de multiplicidade (ou seja, é uma raiz dupla).
Passo 6
Verificação rápida (substituição):
Ambos satisfazem
, confirmando as raízes.