Encontre a representação decimal dos seguintes números:
-\frac{135}{21}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a representação decimal de -\dfrac{135}{21}.
Informações dadas: o número racional negativo -\dfrac{135}{21}. Não há outras restrições.

Passo 2

Primeiro simplificar a fração. Verificar se há um divisor comum entre o numerador 135 e o denominador 21.
  • Soma dos dígitos de 135 é 1+3+5=9, que é divisível por 3. Logo 135 é divisível por 3.
  • 21 também é divisível por 3.
    Dividindo numerador e denominador por 3:
-\dfrac{135}{21}=-\dfrac{135\div3}{21\div3}=-\dfrac{45}{7}.
Assim trabalharemos com -\dfrac{45}{7}.

Passo 3

Separar a parte inteira da fração positiva \dfrac{45}{7} (o sinal negativo ficará à frente no resultado final). Fazer a divisão inteira:
45 \div 7 = 6\quad\text{com resto }3,
porque 7\cdot6=42 e 45-42=3. Portanto
\dfrac{45}{7}=6+\dfrac{3}{7},
e
-\dfrac{45}{7}=-6-\dfrac{3}{7}.
A representação decimal será -6, seguida da expansão decimal de \dfrac{3}{7}.

Passo 4

Calcular a expansão decimal de \dfrac{3}{7} por divisão longa (multiplicando o resto por 10 a cada passo):
  • Resto inicial 3. Multiplica por 10: 30. 30\div7=4 com resto 2. Primeiro dígito decimal: 4.
  • Resto 2. Multiplica por 10: 20. 20\div7=2 com resto 6. Segundo dígito: 2.
  • Resto 6. Multiplica por 10: 60. 60\div7=8 com resto 4. Terceiro dígito: 8.
  • Resto 4. Multiplica por 10: 40. 40\div7=5 com resto 5. Quarto dígito: 5.
  • Resto 5. Multiplica por 10: 50. 50\div7=7 com resto 1. Quinto dígito: 7.
  • Resto 1. Multiplica por 10: 10. 10\div7=1 com resto 3. Sexto dígito: 1.
Agora o resto voltou a ser 3, que é o resto inicial, então os dígitos vão se repetir ciclicamente. Os dígitos obtidos, na ordem, são 4,2,8,5,7,1, e então repetem.

Passo 5

Conclusão: a parte decimal de \dfrac{3}{7} é 0,428571428571\ldots com o bloco 428571 repetindo indefinidamente. Portanto a representação decimal do número original é
-\dfrac{135}{21}=-6,428571428571\ldots=-6,\overline{428571}.

Resposta

-6,\overline{428571}