Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(g)
(g)
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar uma representação em série de potências para a função
, centrada em zero. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções logarítmicas em séries e usar propriedades de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de
. Sabemos que para
,
Essa é uma série de potências que pode ser útil para a gente trabalhar com o termo logarítmico na função
.
Passo 3
Agora, vamos adaptar essa série para a nossa função. Observe que temos
, que podemos reescrever como
. Então, se fizermos
, a série fica:
Essa substituição simplifica a expressão e nos prepara para multiplicar pela
que está fora do logaritmo.
Passo 4
Agora, voltando à função original
, substituímos a s��rie que encontramos:
Aqui, estamos multiplicando cada termo da série por
, o que vai aumentar o expoente de
em cada termo.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão multiplicando
pelos termos da série:
Assim, a série de potências para a função
fica organizada com termos envolvendo
elevado a potências ímpares.
Resposta
A representação em série de potências centrada em zero para a função
é: