encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula como ensinada.
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+2 y=0 ; \quad y_{1}=x \sin (\ln x)

Passo 1

O enunciado pede uma segunda solução da equação
x^{2}y''-x\,y'+2y=0
sabendo que já existe y_{1}=x\sin(\ln x). Vamos usar o método de redução de ordem, que consiste em procurar
y_{2}=y_{1}(x)\,v(x)
e usar a forma padrão da equação.

Passo 2

Colocamos a equação em forma normal dividindo por x^{2}:
y''-\frac{1}{x}y'+\frac{2}{x^{2}}y=0.
Aqui
p(x)=-\frac1x \quad\text{e}\quad q(x)=\frac{2}{x^{2}}.

Passo 3

A fórmula de redução de ordem diz que, dado y_{1}, uma segunda solução é
y_{2}=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{[y_{1}(x)]^{2}}\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro
-\int p(x)\,dx=-\int\Bigl(-\frac1x\Bigr)\,dx =\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x \quad\Longrightarrow\quad e^{-\int p\,dx}=e^{\ln x}=x.
Então o integrando fica
\frac{e^{-\int p\,dx}}{y_{1}^{2}} =\frac{x}{\bigl[x\sin(\ln x)\bigr]^{2}} =\frac{1}{x\,\sin^{2}(\ln x)}.

Passo 5

Para
\displaystyle \int\frac{1}{x\,\sin^{2}(\ln x)}\,dx
fazemos u=\ln x, logo du=dx/x. A integral vira
\int \frac{1}{\sin^{2}u}\,du =\int \csc^{2}u\,du =-\cot u + C =-\cot(\ln x)+C.

Passo 6

Logo
y_{2} =y_{1}(x)\bigl[-\cot(\ln x)\bigr] =-x\sin(\ln x)\,\frac{\cos(\ln x)}{\sin(\ln x)} =-x\cos(\ln x).
Podemos desprezar o sinal global, ficando independente de y_{1}.

Resposta

Uma segunda solução linearmente independente é
y_{2}(x)=x\cos\bigl(\ln x\bigr).

Exercícios relacionados