Encontre a série de Fourier da função 
  dada 
 , se 
 , se 
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Fourier para uma função 
  definida de forma periódica. A função é dada por:
e essa função se repete a cada 4 unidades, ou seja, 
 . Aqui, estamos trabalhando com Séries de Fourier, que descompõem funções periódicas em uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes 
 , 
  e 
 , que vão nos dar a expressão da série.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente 
 , que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para 
  é:
Aqui, o período é 4, então 
 . Vamos calcular a integral de 
  de -2 a 2.
Passo 3
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes 
  e 
 . As fórmulas são:
Com 
 , temos:
Passo 5
Devido à natureza da função 
 , que é par ou ímpar, podemos simplificar os cálculos:
- A função 
é ímpar porque .  - Isso implica que os coeficientes 
serão zero, já que a integral de uma função ímpar multiplicada por uma função par (cosseno) é zero.  - Já os coeficientes 
serão não nulos.  
Passo 6
Vamos calcular 
 :
Observando a simetria, podemos simplificar:
Usando 
 , simplificamos:
Somando as integrais:
Passo 7
Para resolver a integral 
 , usamos a técnica de integração por partes:
Escolhemos:
Aplicando:
Calculando a segunda integral:
Portanto:
Passo 8
Voltando a 
 :
Vamos avaliar de 0 a 2:
Para :
Para
Para 
 :
Portanto:
Usamos 
 .
Passo 9
Simplificando 
 :
Na verdade, corrigindo, observe que 
  é:
- 2 quando 
é par.  - 0 quando 
é ímpar.  
Então:
e
Resposta
A série de Fourier da função 
  é dada por:
onde:
Portanto, a série de Fourier simplificada fica:
onde 
  com 
  inteiro positivo.