Encontre uma série de potências, centrada em a = 0, e determine seu raio e intervalo de convergência: h) f(x) = cos^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma série de potências centrada em para a função e, além disso, determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e algumas identidades trigonométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica que pode simplificar a expressão de . Sabemos que:
Essa identidade vai facilitar, porque agora podemos trabalhar com a série de potências da função , que já conhecemos.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a série de potências para centrada em 0. A série de Taylor para o cosseno é:
Substituindo por nessa série, temos a série de :

Passo 4

Voltando à nossa expressão para :
Agora, substituímos pela série que acabamos de encontrar:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, nossa série de potências para está pronta:
Para encontrar o raio de convergência, vamos analisar o termo geral da série:
Podemos usar o critério da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 6

Aplicando o critério da razão:
Como vai para o infinito, o limite tende a zero para qualquer valor de . Isso significa que a série converge para todo .

Passo 7

Então, o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é .

Resposta

A série de potências centrada em para é:
O raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é .

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