Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma série de potências centrada em
para a função
e, além disso, determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e algumas identidades trigonométricas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica que pode simplificar a expressão de
. Sabemos que:
Essa identidade vai facilitar, porque agora podemos trabalhar com a série de potências da função
, que já conhecemos.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a série de potências para
centrada em 0. A série de Taylor para o cosseno é:
Substituindo
por
nessa série, temos a série de
:
Passo 4
Voltando à nossa expressão para
:
Agora, substituímos
pela série que acabamos de encontrar:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, nossa série de potências para
está pronta:
Para encontrar o raio de convergência, vamos analisar o termo geral da série:
Podemos usar o critério da razão para determinar o raio de convergência.
Passo 6
Aplicando o critério da razão:
Como
vai para o infinito, o limite tende a zero para qualquer valor de
. Isso significa que a série converge para todo
.
Passo 7
Então, o raio de convergência
é infinito, e o intervalo de convergência é
.
Resposta
A série de potências centrada em
para
é:
O raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é
.