Encontre a série de potências que representa a função
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para encontrar a série de potências que representa a função
. Além disso, temos que descobrir o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e derivadas de séries conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências é uma soma infinita de termos que envolve potências de
. A gente sabe que a série geométrica básica é
para
.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Isso pode ser reescrito como
, o que se encaixa na fórmula da série geométrica. Assim, podemos expandir:
Essa série converge quando
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso, temos:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Agora, voltamos à nossa função
. Substituindo a série que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A série de potências que representa a função
é:
O raio de convergência dessa série é
, já que a série geométrica associada converge para
.