Encontre a série de Taylor centrada em x=0 e determine seu raio de convergência:
f(x)=\int_{0}^{x} \frac{e^{t}-1}{t} d t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se a série de Taylor (série de Maclaurin) de f centrada em x=0, ou seja a expansão em potências de x em torno de 0.
  • Pede-se também o raio de convergência dessa série.
  • A função é dada por
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt.
  • Observações úteis fornecidas pelo enunciado (dados claros): o integrando tem aparente singularidade em t=0 mas e^{t}-1 anula em t=0, então a singularidade é removível; a integral é desde 0 até x.

Passo 2

Expandir e^{t} em série de potências e manipular para obter a série do integrando:
  • Começo lembrando a série conhecida (Maclaurin) do exponencial:
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!},
válida para todo t (raio de convergência infinito). Aqui cada n! é o fatorial de n.
  • Subtraio 1 e divido por t. Primeiro e^{t}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{t^{n}}{n!}. Dividindo por t obtenho
\frac{e^{t}-1}{t}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{n-1}}{n!}.
  • Faço uma reindexação mais conveniente: ponho k=n-1. Então n=k+1 e a soma passa a ser sobre k\ge 0:
\frac{e^{t}-1}{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{(k+1)!}.
  • Comentário didático: nessa forma cada termo é uma potência t^{k} multiplicada por uma constante 1/(k+1)!. A igualdade formal vem da série do e^{t} sendo absolutamente convergente para todo t, então essa manipulação algébrica (subtrair 1, dividir por t, reindexar) é válida fora de t=0; como t=0 é ponto removível, essa soma também representa o valor limite no ponto 0.

Passo 3

Justificar a integração termo a termo e integrar a série do integrando:
  • Teorema prático que vamos usar (explicado): se uma série de funções em potências converge uniformemente em um intervalo compacto contendo 0, então pode-se integrar termo a termo. A série do exponencial tem raio infinito e converge uniformemente em qualquer intervalo [-R,R]; portanto a série obtida para \dfrac{e^{t}-1}{t} converge uniformemente em todo compact, permitindo integrar termo a termo de 0 até x.
  • Integro cada termo da soma \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{t^{k}}{(k+1)!} no intervalo [0,x]:
\int_{0}^{x}\frac{t^{k}}{(k+1)!}\,dt=\frac{1}{(k+1)!}\cdot\frac{x^{k+1}}{k+1}=\frac{x^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}.
  • Assim, integrando termo a termo,
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}.
  • Reindexando para uma forma mais habitual: ponho m=k+1 (então m\ge 1). Obtenho a série de Maclaurin
f(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{m\,m!}.
  • Para ver os primeiros termos explicitamente, calcule para m=1,2,3,4:
f(x)=x+\frac{x^{2}}{2\cdot 2!}+\frac{x^{3}}{3\cdot 3!}+\frac{x^{4}}{4\cdot 4!}+\cdots = x+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{18}+\frac{x^{4}}{96}+\cdots.
  • Comentário didático: essa é exatamente a série de Taylor centrada em 0 (Maclaurin) de f. Observe que f(0)=0 (termo constante ausente) e a derivada formal coincide com o integrando: diferenciando termo a termo dá f'(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\dfrac{x^{m-1}}{m!}=\dfrac{e^{x}-1}{x}, compatível com a definição de f.

Passo 4

Determinar o raio de convergência da série:
  • Tomo os coeficientes da série em potências padrão \sum_{m=1}^{\infty} a_{m}x^{m} com
a_{m}=\frac{1}{m\,m!}.
  • Uso o teste da razão para séries de potências: calcular
\lim_{m\to\infty}\left|\frac{a_{m+1}}{a_{m}}\right| =\lim_{m\to\infty}\frac{\dfrac{1}{(m+1)(m+1)!}}{\dfrac{1}{m\,m!}} =\lim_{m\to\infty}\frac{m\,m!}{(m+1)(m+1)!} =\lim_{m\to\infty}\frac{m}{(m+1)^{2}}.
  • Avaliando o limite:
\lim_{m\to\infty}\frac{m}{(m+1)^{2}}=0.
  • Pelo teste da razão, o raio de convergência R satisfaz 1/R=\lim a_{m+1}/a_{m}=0, portanto R=\infty. Intuição alternativa: integrando um desenvolvimento com raio infinito (o do e^{t}) obtem-se uma primitiva inteira, logo série com raio infinito.

Passo 5

Verificação e comentários finais (didáticos e motivacionais):
  • Verifiquei compatibilidade com a derivada: diferenciando a série obtida recupera o integrando \dfrac{e^{x}-1}{x} para x\neq 0, e o valor limite em 0 também bate porque \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1.
  • Conclusão prática: para resolver rapidamente na prova, o caminho é lembrar a série de e^{t}, dividir por t, reindexar e integrar termo a termo — tudo isso é permitido porque a série de e^{t} converge para todo t.

Resposta

f(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{m\,m!}
Raio de convergência: R=\infty