Encontre a série de Taylor centrada em x=0 e determine seu raio de convergência: f(x)=\int_{0}^{x} \frac{e^{t}-1}{t} d t
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede-se a série de Taylor (série de Maclaurin) de f centrada em x=0, ou seja a expansão em potências de x em torno de 0.
Pede-se também o raio de convergência dessa série.
A função é dada por
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt.
Observações úteis fornecidas pelo enunciado (dados claros): o integrando tem aparente singularidade em t=0 mas e^{t}-1 anula em t=0, então a singularidade é removível; a integral é desde 0 até x.
Passo 2
Expandir e^{t} em série de potências e manipular para obter a série do integrando:
Começo lembrando a série conhecida (Maclaurin) do exponencial:
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!},
válida para todo t (raio de convergência infinito). Aqui cada n! é o fatorial de n.
Subtraio 1 e divido por t. Primeiro e^{t}-1=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{t^{n}}{n!}. Dividindo por t obtenho
Comentário didático: nessa forma cada termo é uma potência t^{k} multiplicada por uma constante 1/(k+1)!. A igualdade formal vem da série do e^{t} sendo absolutamente convergente para todo t, então essa manipulação algébrica (subtrair 1, dividir por t, reindexar) é válida fora de t=0; como t=0 é ponto removível, essa soma também representa o valor limite no ponto 0.
Passo 3
Justificar a integração termo a termo e integrar a série do integrando:
Teorema prático que vamos usar (explicado): se uma série de funções em potências converge uniformemente em um intervalo compacto contendo 0, então pode-se integrar termo a termo. A série do exponencial tem raio infinito e converge uniformemente em qualquer intervalo [-R,R]; portanto a série obtida para \dfrac{e^{t}-1}{t} converge uniformemente em todo compact, permitindo integrar termo a termo de 0 até x.
Integro cada termo da soma \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{t^{k}}{(k+1)!} no intervalo [0,x]:
Comentário didático: essa é exatamente a série de Taylor centrada em 0 (Maclaurin) de f. Observe que f(0)=0 (termo constante ausente) e a derivada formal coincide com o integrando: diferenciando termo a termo dá f'(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\dfrac{x^{m-1}}{m!}=\dfrac{e^{x}-1}{x}, compatível com a definição de f.
Passo 4
Determinar o raio de convergência da série:
Tomo os coeficientes da série em potências padrão \sum_{m=1}^{\infty} a_{m}x^{m} com
a_{m}=\frac{1}{m\,m!}.
Uso o teste da razão para séries de potências: calcular
Pelo teste da razão, o raio de convergência R satisfaz 1/R=\lim a_{m+1}/a_{m}=0, portanto R=\infty. Intuição alternativa: integrando um desenvolvimento com raio infinito (o do e^{t}) obtem-se uma primitiva inteira, logo série com raio infinito.
Passo 5
Verificação e comentários finais (didáticos e motivacionais):
Verifiquei compatibilidade com a derivada: diferenciando a série obtida recupera o integrando \dfrac{e^{x}-1}{x} para x\neq 0, e o valor limite em 0 também bate porque \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1.
Conclusão prática: para resolver rapidamente na prova, o caminho é lembrar a série de e^{t}, dividir por t, reindexar e integrar termo a termo — tudo isso é permitido porque a série de e^{t} converge para todo t.