Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x) = sen(x)/x, c = 0.

Passo 1

Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Maclaurin para a função em torno de . Além disso, vamos descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor/Maclaurin e conceitos básicos de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin é um tipo especial de série de Taylor onde o ponto de expansão é zero. A série de Maclaurin para é conhecida e é dada por:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos envolvendo potências ímpares de .

Passo 3

Agora, como nossa função é , vamos dividir cada termo da série de por :
Ao simplificar, tiramos o de baixo de cada termo:
Então, a série de Maclaurin para é uma soma infinita de termos envolvendo potências pares de .

Passo 4

Para saber para quais valores de essa série converge, observamos que a série de tem raio de convergência infinito, ou seja, ela converge para todo real. Como dividimos por , exceto em (onde a função originalmente está definida como o limite), a série resultante também terá raio de convergência infinito.

Resposta

A série de Maclaurin para é:
E essa série converge para todos os valores de reais.

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