Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
a. d²y/dx² + 9y = 0
y(0)=1, y'(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que foi dada: , com as condições iniciais e . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por e por 1, obtendo:

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Isso nos diz que as raízes são imaginárias puras. Quando temos raízes da forma , onde e , a solução geral da equação diferencial é dada por:

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução geral:

Passo 5

Segunda condição: .
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
Agora, substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

Exercícios relacionados