Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i. 5 y'' + 2 y + 7 y = 0,
y(0) = 2, y' (0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a função que satisfaz a equação e as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Temos:
Juntando os termos de :

Passo 3

Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. A forma geral é:
No nosso caso, , (porque não há termo de ), e .

Passo 4

Para resolver, assumimos uma solução da forma . Ao substituir na equação, obtemos a equação característica:

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação é:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: .
Substituindo :

Passo 7

Segunda condição: .
Primeiro, encontramos a derivada de :
Substituindo :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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