Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i.
,
i.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação e as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Temos:
Juntando os termos de
:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. A forma geral é:
No nosso caso,
,
(porque não há termo de
), e
.
Passo 4
Para resolver, assumimos uma solução da forma
. Ao substituir na equação, obtemos a equação característica:
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação é:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
:
Passo 7
Segunda condição:
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Substituindo
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: