Encontre a solução geral da edo
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
Informações dadas:
Observação importante: o coeficiente de
é
, portanto a equação está definida para
. A solução geral deverá ser apresentada considerando
.
Passo 2
Vamos colocar a equação numa forma padrão de primeira ordem, isolando
. Dividindo por
(válido para
) obtemos
Aqui, a equação tem a forma
com
e
.
Passo 3
Explicação do método que vamos usar (fórmula do fator integrante):
Para uma EDO linear de primeira ordem
Para uma EDO linear de primeira ordem
o “fator integrante”
é definido por
A ideia é multiplicar a EDO por
para que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
, ou seja,
. Isso transforma a equação numa que podemos integrar diretamente. Vou calcular
para o nosso
.
Passo 4
Calcular o fator integrante:
Portanto
Como costumamos trabalhar em intervalos onde
tem sinal constante, podemos escolher
ao fazer as contas (para
) — para
a mesma expressão final para
aparece com a constante de integração ajustada. Assim, tomamos
e multiplicamos a equação padrão por
.
Passo 5
Multiplicando a equação
por
temos
No membro esquerdo reconhecemos a derivada do produto:
No membro direito simplificamos:
Logo a equação fica
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra facilmente para
. No lado direito,
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolar
para obter a solução geral:
Separando os termos:
Lembrete: essa expressão é válida para
. A constante
é arbitrária real e absorve sinais caso se trabalhe em
.
Passo 8
Verificação rápida (útil para a prova): calcular
a partir de
e substituir em
. Fazendo a conta (derivando termo a termo e simplificando) obtém-se exatamente
, o que confirma que a solução está correta.