Encontre a solução geral da edo x y^{\prime}+y=2 x+e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
x\,y'+y=2x+e^{x}.
Informações dadas:
\text{A EDO é }x\,y'+y=2x+e^{x}.é
Observação importante: o coeficiente de y' é x, portanto a equação está definida para x\neq 0. A solução geral deverá ser apresentada considerando x\neq 0.

Passo 2

Vamos colocar a equação numa forma padrão de primeira ordem, isolando y'. Dividindo por x (válido para x\neq 0) obtemos
y'+\frac{1}{x}\,y=2+\frac{e^{x}}{x}.
Aqui, a equação tem a forma y'+p(x)\,y=q(x) com p(x)=\dfrac{1}{x} e q(x)=2+\dfrac{e^{x}}{x}.

Passo 3

Explicação do método que vamos usar (fórmula do fator integrante):
Para uma EDO linear de primeira ordem
y'+p(x)\,y=q(x),
o “fator integrante” \mu(x) é definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
A ideia é multiplicar a EDO por \mu(x) para que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y, ou seja, (\mu y)'. Isso transforma a equação numa que podemos integrar diretamente. Vou calcular \mu(x) para o nosso p(x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Calcular o fator integrante:
\int p(x)\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=e^{\ln|x|}=|x|.
Como costumamos trabalhar em intervalos onde x tem sinal constante, podemos escolher \mu(x)=x ao fazer as contas (para x>0) — para x<0 a mesma expressão final para y aparece com a constante de integração ajustada. Assim, tomamos \mu(x)=x e multiplicamos a equação padrão por x.

Passo 5

Multiplicando a equação y'+\dfrac{1}{x}y=2+\dfrac{e^{x}}{x} por x temos
x\,y'+y = x\left(2+\frac{e^{x}}{x}\right).
No membro esquerdo reconhecemos a derivada do produto:
(xy)'=x\,y'+y.
No membro direito simplificamos:
x\left(2+\frac{e^{x}}{x}\right)=2x+e^{x}.
Logo a equação fica
(xy)'=2x+e^{x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int (xy)'\,dx=\int(2x+e^{x})\,dx.
O lado esquerdo integra facilmente para xy. No lado direito,
\int 2x\,dx = x^{2},\qquad \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Portanto
xy = x^{2}+e^{x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolar y para obter a solução geral:
y=\frac{x^{2}+e^{x}+C}{x}.
Separando os termos:
y = x + \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}.
Lembrete: essa expressão é válida para x\neq 0. A constante C é arbitrária real e absorve sinais caso se trabalhe em x<0.

Passo 8

Verificação rápida (útil para a prova): calcular y' a partir de
y = x + e^{x}x^{-1} + C x^{-1}
e substituir em x y' + y. Fazendo a conta (derivando termo a termo e simplificando) obtém-se exatamente 2x+e^{x}, o que confirma que a solução está correta.

Resposta

y = x + \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x},\quad x\neq 0