Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
603 y^{\prime}+6.25 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
603\,y'+6{,}25\,y=0
e pede a solução geral y(x). Informações fornecidas que vamos usar:
  • O coeficiente de y' é 603.
  • O coeficiente de y é 6{,}25.
  • A incógnita é a função y em função da variável independente (que chamamos de x).
    A partir daqui vamos encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro reescrevo a equação dividindo por 603 para deixar a derivada isolada. Lembre que y'=\dfrac{dy}{dx}. Dividindo por 603 obtemos
y' + \frac{6{,}25}{603}\,y = 0.
Vou usar o método de separação de variáveis: a equação tem a forma y' = k\,y (com k constante), ou seja, a derivada de y é proporcional a y. Nesses casos é muito simples separar as variáveis y e x para integrar.

Passo 3

Passo a forma separável explicitamente. A partir de
y' = -\frac{6{,}25}{603}\,y
escrevo y'=\dfrac{dy}{dx} e separo os termos com y à esquerda e com x à direita:
\frac{1}{y}\,dy = -\frac{6{,}25}{603}\,dx.
Observação importante: ao dividir por y assumimos temporariamente y\neq0. A função constante y\equiv 0 é uma solução óbvia da equação original (basta substituir), e ficará coberta pela constante de integração zero no final. Então não perdemos soluções.

Passo 4

Integro ambos os lados. Sabemos que \displaystyle\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| porque a derivada de \ln|y| é \dfrac{1}{y}. Assim:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -\frac{6{,}25}{603}\,dx
leva a
\ln|y| = -\frac{6{,}25}{603}\,x + C_1,
onde C_1 é a constante de integração.

Passo 5

Agora exponencio ambos os lados para isolar y. Aplicando a exponencial:
|y| = e^{-\frac{6{,}25}{603}x + C_1} = e^{C_1}\,e^{-\frac{6{,}25}{603}x}.
Posso absorver o e^{C_1} numa constante arbitrária C. Como y pode ser positivo ou negativo, escrevo a constante C livre em \mathbb{R} (inclui 0). Assim
y = C\,e^{-\frac{6{,}25}{603}x},\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Faço uma pequena simplificação do coeficiente \dfrac{6{,}25}{603}. Note que 6{,}25=\dfrac{25}{4}, então
\frac{6{,}25}{603} = \frac{25/4}{603} = \frac{25}{4\cdot 603} = \frac{25}{2412}.
Como referência numérica, \dfrac{25}{2412}\approx 0{,}01036\ldots, mas manter a fração exata é preferível.

Passo 7

Substituindo a fração simplificada na solução obtida em Passo 5, a solução geral fica
y = C\,e^{-\frac{25}{2412}x},\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (confirmação): calcule y' a partir da solução proposta:
y' = C\left(-\frac{25}{2412}\right)e^{-\frac{25}{2412}x}.
Multiplicando por 603 e somando 6{,}25\,y:
603y' + 6{,}25y = 603\cdot C\left(-\frac{25}{2412}\right)e^{-\frac{25}{2412}x} + 6{,}25\cdot C e^{-\frac{25}{2412}x}.
Fatorando C e^{-\frac{25}{2412}x} obtemos
C e^{-\frac{25}{2412}x}\left(-603\frac{25}{2412} + 6{,}25\right).
Como \dfrac{25}{2412}=\dfrac{6{,}25}{603}, o parêntese é zero, logo a equação é satisfeita. Então a solução está correta.

Resposta

y=C\,e^{-\frac{25}{2412}x},\;C\in\mathbb{R}

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