Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações fornecidas que vamos usar:
- O coeficiente de
é . - O coeficiente de
é . - A incógnita é a função
em função da variável independente (que chamamos de ).
A partir daqui vamos encontrar todas as funçõesque satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro reescrevo a equação dividindo por
para deixar a derivada isolada. Lembre que
. Dividindo por
obtemos
Vou usar o método de separação de variáveis: a equação tem a forma
(com
constante), ou seja, a derivada de
é proporcional a
. Nesses casos é muito simples separar as variáveis
e
para integrar.
Passo 3
Passo a forma separável explicitamente. A partir de
escrevo
e separo os termos com
à esquerda e com
à direita:
Observação importante: ao dividir por
assumimos temporariamente
. A função constante
é uma solução óbvia da equação original (basta substituir), e ficará coberta pela constante de integração zero no final. Então não perdemos soluções.
Passo 4
Integro ambos os lados. Sabemos que
porque a derivada de
é
. Assim:
leva a
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora exponencio ambos os lados para isolar
. Aplicando a exponencial:
Posso absorver o
numa constante arbitrária
. Como
pode ser positivo ou negativo, escrevo a constante
livre em
(inclui
). Assim
Passo 6
Faço uma pequena simplificação do coeficiente
. Note que
, então
Como referência numérica,
, mas manter a fração exata é preferível.
Passo 7
Substituindo a fração simplificada na solução obtida em Passo 5, a solução geral fica
Passo 8
Verificação rápida (confirmação): calcule
a partir da solução proposta:
Multiplicando por
e somando
:
Fatorando
obtemos
Como
, o parêntese é zero, logo a equação é satisfeita. Então a solução está correta.