Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
x^{2} y^{\prime}+x(x+2) y=e^{x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é uma ODE linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
e usar o fator integrante.
Passo 2
Dividindo toda a equação por
(assumindo
), obtemos
Aqui
Passo 3
Calculamos o fator integrante
por
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
, obtendo
Então
Passo 5
Voltando a
, temos
Passo 6
Como dividimos por
, a solução só faz sentido para
. Logo o intervalo de definição geral é qualquer intervalo onde
ou
, por exemplo
ou
.