Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
x \frac{d y}{d x}+(3 x+1) y=e^{-3 x}
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem linear
O conteúdo necessário é a resolução de ODE linear usando fator integrante. Vamos precisar reescrever na forma padrão, calcular o fator integrante, multiplicar, integrar e isolar a solução geral.
Passo 2
Dividimos toda a equação por
(assumindo
) para obter a forma padrão
Passo 3
Identificamos o coeficiente de
como
e calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
e observamos que o lado esquerdo se torna derivada exata:
O lado direito é
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
, obtemos
Passo 7
Como dividimos por
, a solução geral só faz sentido em intervalos em que
, ou seja, em qualquer intervalo puramente positivo (
) ou puramente negativo (
).
Resposta
A solução geral é
definida em intervalos que não contenham
, por exemplo
ou
.