Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
3 \frac{d y}{d x}+12 y=4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
3\frac{dy}{dx} + 12y = 4
e pede a solução geral e um intervalo de definição.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de primeira ordem e fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por 3:
\frac{dy}{dx} + 4y = \frac{4}{3}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = e^{\int 4\,dx} = e^{4x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=e^{4x}. Isso transforma o lado esquerdo em derivada de um produto:
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{4x}\bigr) = \frac{4}{3}\,e^{4x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{4x} = \int \frac{4}{3}\,e^{4x}\,dx = \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4}e^{4x} + C = \frac{1}{3}e^{4x} + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Isolamos y dividindo por e^{4x}:
y = \frac{1}{3} + C\,e^{-4x}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{1}{3} + C\,e^{-4x},
onde C é constante arbitrária. Essa solução vale em qualquer intervalo\ \bigl(a,b\bigr)\subseteq\mathbb{R}, por exemplo em \bigl(-\infty,\infty\bigr).

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