Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
3 \frac{d y}{d x}+12 y=4
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
e pede a solução geral e um intervalo de definição.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de primeira ordem e fator integrante.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de primeira ordem e fator integrante.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por
:
Passo 3
Calculamos o fator integrante
como
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. Isso transforma o lado esquerdo em derivada de um produto:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Isolamos
dividindo por
:
Resposta
A solução geral é
onde
é constante arbitrária. Essa solução vale em qualquer intervalo\
, por exemplo em
.