Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy: x^2 d^2y/dx^2 - 6x dy/dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação de Euler-Cauchy:
Esse tipo de equação é chamado de equação de Euler-Cauchy e geralmente aparece em problemas de equações diferenciais. Para resolver, vamos supor que a solução tem a forma , onde r é uma constante que precisamos descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que . Agora, precisamos calcular as derivadas de y em relação a x:

Passo 3

Vamos substituir essas derivadas na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, podemos fatorar :
Ou seja:

Passo 5

Para que essa equação seja verdadeira para todo x, os coeficientes devem satisfazer:
Isso nos dá as raízes:

Passo 6

Com as raízes encontradas, as soluções particulares são:

Resposta

A solução geral da equação de Euler-Cauchy é:
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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